Cerchio tangente a due cerchi e a una retta
La descrizione del quesito si riferisce al disegno allegato.
In un rettangolo LxP ci sono due cerchi "sui due spigoli in basso" - raggio R1 e R2 diversi.
Voglio determinare il raggio del cerchio tangente ai due cerchi e al lato "in alto" del rettangolo.
Ho trovato solo esempi in cui i tre cerchi erano esterni tra loro. Oppure il caso con R1=R2.
Gratissimo a chi mi saprà mettere sulla strada giusta.
In un rettangolo LxP ci sono due cerchi "sui due spigoli in basso" - raggio R1 e R2 diversi.
Voglio determinare il raggio del cerchio tangente ai due cerchi e al lato "in alto" del rettangolo.
Ho trovato solo esempi in cui i tre cerchi erano esterni tra loro. Oppure il caso con R1=R2.
Gratissimo a chi mi saprà mettere sulla strada giusta.
Risposte
Benvenuto! Il regolamento del forum prevede che chi pone una domanda descriva, almeno sommariamente, come ha operato per cercare di risolvere la questione. Questo, fra l'altro, consente a chi prova a rispondere di avere qualche idea in più sulle metodologie note all'interlocutore. Dalla tua presentazione capisco solo che sei andato a caccia e non hai trovato la preda giusta.
Comunque, i centri delle circonferenze che stai cercando si trovano nei punti di intersezione di due parabole, ognuna delle quali ha per fuoco il centro di uno dei due cerchi noti e per direttrice la retta parallela ai lati (di lunghezza L) del rettangolo, compresa fra i lati in questione, distante da quello più in alto quanto misura il raggio del cerchio noto che si sta considerando.
La risoluzione numerica del problema non presenta difficoltà, un po' più complicata è la risoluzione letterale.
Nel caso ti servisse solamente la soluzione, questa dovrebbe essere:
$ R3=P/2+ \frac{ (L-R1-R2)^2(P-R1-R2+-\sqrt((P-2R1)(P-2R2)))} {4(R1-R2)^2} $
con $ R1 != R2 $
Ciao
B.
Comunque, i centri delle circonferenze che stai cercando si trovano nei punti di intersezione di due parabole, ognuna delle quali ha per fuoco il centro di uno dei due cerchi noti e per direttrice la retta parallela ai lati (di lunghezza L) del rettangolo, compresa fra i lati in questione, distante da quello più in alto quanto misura il raggio del cerchio noto che si sta considerando.
La risoluzione numerica del problema non presenta difficoltà, un po' più complicata è la risoluzione letterale.
Nel caso ti servisse solamente la soluzione, questa dovrebbe essere:
$ R3=P/2+ \frac{ (L-R1-R2)^2(P-R1-R2+-\sqrt((P-2R1)(P-2R2)))} {4(R1-R2)^2} $
con $ R1 != R2 $
Ciao
B.
Grazie mille delle indicazioni per la risoluzione - che adesso andrò ad approfondire.
Ero incerto se inserire o meno qualche traccia di quelle individuate...mi hai gentilmente fatto capire come avrei dovuto fare e ti sono grato anche per questo: la prossima volta faro' meglio - mi rendo conto che avevo qualche pudore...
Sto risolvendo questo problema in un ambito di computer grafica e, giusto per partire, avevo trovato una soluzione algoritmica. In genere, poi, in casi simili, riesco a trovare anche una soluzione più veloce, geometrica, ma in questo caso non ci sono riuscito e dopo due giorni di prove mi serviva un aiuto...grazie ancora B.
Ero partito dal caso simmetrico, R1=R2, e in quel caso, dato un punto P sulla mediana del rettangolo, calcolavo la distanza dal lato del rettangolo (PM) e dai due centri (PC1 e PC2) e mi fermavo quando PM=PC1+R1=PC2+R2.
Trattandosi di computer, mi limitavo a chiedere che la differenza tra le tre distanze fosse abbastanza "piccola".
Se R1 ed R2 sono diversi, la soluzione algoritmica si può ancora fare, ma ormai ero rimasto affascinato dal fatto di non riuscire a trovare quella geometrica...sono rimasto incollato come una mosca sulla carta moschicida.
Quindi, si, come hai intuito, mi serve una soluzione letterale, perché poi devo impiegare questo calcolo all'interno di un algoritmo che permetta di disegnare un insieme di forme geometriche curve parametriche.
Quando avrò compreso il tuo suggerimento lo metterò in opera e ti avviserò.
Ciao
Stefano
Ero incerto se inserire o meno qualche traccia di quelle individuate...mi hai gentilmente fatto capire come avrei dovuto fare e ti sono grato anche per questo: la prossima volta faro' meglio - mi rendo conto che avevo qualche pudore...
Sto risolvendo questo problema in un ambito di computer grafica e, giusto per partire, avevo trovato una soluzione algoritmica. In genere, poi, in casi simili, riesco a trovare anche una soluzione più veloce, geometrica, ma in questo caso non ci sono riuscito e dopo due giorni di prove mi serviva un aiuto...grazie ancora B.
Ero partito dal caso simmetrico, R1=R2, e in quel caso, dato un punto P sulla mediana del rettangolo, calcolavo la distanza dal lato del rettangolo (PM) e dai due centri (PC1 e PC2) e mi fermavo quando PM=PC1+R1=PC2+R2.
Trattandosi di computer, mi limitavo a chiedere che la differenza tra le tre distanze fosse abbastanza "piccola".
Se R1 ed R2 sono diversi, la soluzione algoritmica si può ancora fare, ma ormai ero rimasto affascinato dal fatto di non riuscire a trovare quella geometrica...sono rimasto incollato come una mosca sulla carta moschicida.
Quindi, si, come hai intuito, mi serve una soluzione letterale, perché poi devo impiegare questo calcolo all'interno di un algoritmo che permetta di disegnare un insieme di forme geometriche curve parametriche.
Quando avrò compreso il tuo suggerimento lo metterò in opera e ti avviserò.
Ciao
Stefano
B,
allego una immaginina (edit: non ho confermato l'upload cosi' per adesso l'immagine non c'e'. Si tratta di alcune forme a "fagiolo"). Per fare quelle forme ho usato la formula che hai ricavato.
Complimenti veramente, dove hai scaricato l'intelligenza che hai installato
? Qualcosa di simile mi farebbe comodo!
Mi potresti spiegare se l'idea delle due parabole ti e' venuta subito? Io faccio fatica a ricostruirla anche adesso, dopo che me l'hai trasmessa e dopo che l'ho applicata...porta pazienza...se puoi, mi spiegheresti il processo euristico che ti ha portato a individuarla? A tuo giudizio, da 1 a 10, quanto banale era questo quesito? Era il forum giusto?
Per la soluzione, chiedo conferma:
- origine del sistema di riferimento in basso a sx del rettangolo
- parabola1 -> fuoco in (R1,R1), direttrice y=P-R1
- parabola2 -> fuoco in (L-R2,R2), direttrice y=P-R2
poi si mette a sistema e si trova - se c'e' - la soluzione
Hai fatto a manina santa o hai usato qualche software di matematica/geometria?
Grazie ancora, ri-complimenti e ciao.
Stefano
allego una immaginina (edit: non ho confermato l'upload cosi' per adesso l'immagine non c'e'. Si tratta di alcune forme a "fagiolo"). Per fare quelle forme ho usato la formula che hai ricavato.
Complimenti veramente, dove hai scaricato l'intelligenza che hai installato
? Qualcosa di simile mi farebbe comodo!Mi potresti spiegare se l'idea delle due parabole ti e' venuta subito? Io faccio fatica a ricostruirla anche adesso, dopo che me l'hai trasmessa e dopo che l'ho applicata...porta pazienza...se puoi, mi spiegheresti il processo euristico che ti ha portato a individuarla? A tuo giudizio, da 1 a 10, quanto banale era questo quesito? Era il forum giusto?
Per la soluzione, chiedo conferma:
- origine del sistema di riferimento in basso a sx del rettangolo
- parabola1 -> fuoco in (R1,R1), direttrice y=P-R1
- parabola2 -> fuoco in (L-R2,R2), direttrice y=P-R2
poi si mette a sistema e si trova - se c'e' - la soluzione
Hai fatto a manina santa o hai usato qualche software di matematica/geometria?
Grazie ancora, ri-complimenti e ciao.
Stefano
È proprio "ina" quell'immaginina ... 
Gia'...l'avevo caricata e poi non l'ho confermata...chiedo scusa (grazie axpgn)
La carichero' lunedi' prossimo.
La carichero' lunedi' prossimo.
No Stefano, nessuna fontana dell'intelligenza a cui dissetarsi; solo una, purtroppo sempre più fragile, cassetta degli attrezzi riempita in più di mezzo secolo, in cui, per mia grandissima fortuna, studio, lavoro e gioco sono andati a braccetto. Che il luogo dei centri di una circonferenza passante per un punto e tangente ad una retta sia la parabola, con fuoco nel punto e direttrice la retta, è implicito nella definizione di parabola. Se poi il punto si 'allarga' e diventa un cerchio, la correzione da fare è davvero poca cosa.
Confermo la tua soluzione; aggiungendo che, se i cerchi stanno dentro al rettangolo, questa esiste sicuramente.
Fatta a mano con carta e penna biro. Quando le cose diventano più intricate, trovo molto comodo usare GeoGebra: uno stupendo programma (con licenza, sostanzialmente, GPL) che, come dice il suo nome, abbina geometria, algebra ed altre piacevolezze.
Ciao
B.
Confermo la tua soluzione; aggiungendo che, se i cerchi stanno dentro al rettangolo, questa esiste sicuramente.
Fatta a mano con carta e penna biro. Quando le cose diventano più intricate, trovo molto comodo usare GeoGebra: uno stupendo programma (con licenza, sostanzialmente, GPL) che, come dice il suo nome, abbina geometria, algebra ed altre piacevolezze.
Ciao
B.
Ecco l'immaginina con alcuni casi di esempio. La curva calcolata con il tuo apporto e' quella superiore.
C'e' (almeno) un'applicazione concreta di questo problema: tavolo a fagiolo partendo da un foglio LxP. Il raggio calcolato permette di utilizzare tutta la profondità disponibile.
Vado per lo piu' a penna anch'io...pero' da un paio d'anni ho scoperto le bic a punta grossa (1.6 mm) ti sporcano un po' le dita ma scorrono che pare di avere il turbo.
B, per questi giorni non ho dubbi: sei stato tu il mio guru. Grazie davvero per il tempo che hai dedicato a questo quesito. Vedrò di rendere il favore rendendolo a qualcun altro.
Ciao.
Stefano
C'e' (almeno) un'applicazione concreta di questo problema: tavolo a fagiolo partendo da un foglio LxP. Il raggio calcolato permette di utilizzare tutta la profondità disponibile.
Vado per lo piu' a penna anch'io...pero' da un paio d'anni ho scoperto le bic a punta grossa (1.6 mm) ti sporcano un po' le dita ma scorrono che pare di avere il turbo.
B, per questi giorni non ho dubbi: sei stato tu il mio guru. Grazie davvero per il tempo che hai dedicato a questo quesito. Vedrò di rendere il favore rendendolo a qualcun altro.
Ciao.
Stefano
Prego! Grazie a te. Mi piace giocare e se questo può servire a qualcuno, tanto meglio. Nessuno mi aveva mai accostato ad un guru. Lo aggiungerò alla collezione.
Una curiosità: dove tu vedi fagioli a me appaiono gocce d'olio che salgono in acqua fondendosi e/o separandosi.
Ciao
B.
Una curiosità: dove tu vedi fagioli a me appaiono gocce d'olio che salgono in acqua fondendosi e/o separandosi.
Ciao
B.
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