Centro di simmetria di una funzione

[KatieP]

Ciao a tutti. Devo trovare il centro di simmetria della funzione x^2 + 4y^2 - 2x + 16y + 13= 0 e le equazione degli assi di simmetria. Ho sostituito le formule di simmetria e ho eguagliato la funzione ottenuta a quella iniziale. Ottengo così 4x*( 1 - a) + 16y*(- b -2) + 32b - 4a + 16b^2 + 4a^2 = 0 . A questo punto come ricavo i valori di a e b? Ho notato che eguagliando i coefficienti di x e y uguale a 0 trovo proprio il centro di simmetria, ma perché ?? I termini con a e b privi di x e y vengono trascurati? Grazie

[minomic]

Ciao,

in questi casi il metodo più semplice è probabilmente il completamento dei quadrati. La tua funzione può essere riscritta come \[
(x-1)^2 - 1 + 4(y+2)^2 - 16 + 13 = 0
\] Quindi \[
(x-1)^2 + 4(y+2)^2 = 4
\] E ora puoi dividere tutto per $4$ e ottenere la scrittura in forma canonica. Da qui riconosci immediatamente il tipo di curva, il centro di simmetria, la lunghezza dei semiassi, ecc.

[@melia]

Oppure, partendo dai calcoli che hai già fatto, siccome le due curve devono coincidere per ogni valore di x e y, uguagli a zero i coefficienti:
$1-a=0$
$-2-b=0$
$32b - 4a + 16b^2 + 4a^2 = 0$
le equazioni sono 3, mentre le incognite sono solo 2, ricavi $a$ e $b$ dalle prime due equazioni e verifichi se anche la terza è soddisfatta, se lo è bene e hai anche trovato il centro di simmetria, altrimenti la curva non è simmetrica.