C'è un limite che mi ha messo in crisi
Cercavo un aiuto nel comprendere due passaggi di un limite.
Mi trovo a un certo punto ad avere: $lim_(x->-∞) (pi*cos((pi*x)/(x+1))*1/(x+1)^2)/(2^x*log2)$ vorrei sapere se i seguenti passaggi siano giusti.
Ho pensato che essendo $lim_(x->-∞) cos((pi*x)/(x+1))$ cioè prendendo i considerazione l'argomento $lim_(x->-∞) (pi*x)/(x(1+1/x))=lim_(x->-∞) pi/(1+0^-)$ cioè ho raccolto x e semplificata e mi ritrovo quindi con $pi/1$ che è $pi$. A questo punto $cos((pi*x)/(x+1))=cos(pi)=-1$ e lo "sostituisco" nel limitone.
Arrivo ad avere $lim_(x->-∞) (-pi*1/(x+1)^2)/(2^x*log2)$ porto fuori il segno di limite $-pi/log2 lim_(x->-∞) 1/((x+1)^2*2^x)$ ora so che il risultato è meno infinito dal libro. Quini non capisco perché il denominatore sia zero.
Venendo alle domande:
1) mi chiedevo se fosse lecito il passaggio di usare l'algebra degli infiniti e infinitesimi e fare quella "sostituzione che ho fatto sopra" nel coseno per poi continuare con il limite dopo come nulla fosse o se è un artifizio non valido.
2) vorrei capire perché $lim_(x->-∞) ((x+1)^2*2^x)=0$ O più semplicemente per capirne la logica perché $lim_(x->-∞) x^2*2^x=0$ Questo proprio mi sfugge completamente
Spero possiate rispondere ad entrambe le domande
Mi trovo a un certo punto ad avere: $lim_(x->-∞) (pi*cos((pi*x)/(x+1))*1/(x+1)^2)/(2^x*log2)$ vorrei sapere se i seguenti passaggi siano giusti.
Ho pensato che essendo $lim_(x->-∞) cos((pi*x)/(x+1))$ cioè prendendo i considerazione l'argomento $lim_(x->-∞) (pi*x)/(x(1+1/x))=lim_(x->-∞) pi/(1+0^-)$ cioè ho raccolto x e semplificata e mi ritrovo quindi con $pi/1$ che è $pi$. A questo punto $cos((pi*x)/(x+1))=cos(pi)=-1$ e lo "sostituisco" nel limitone.
Arrivo ad avere $lim_(x->-∞) (-pi*1/(x+1)^2)/(2^x*log2)$ porto fuori il segno di limite $-pi/log2 lim_(x->-∞) 1/((x+1)^2*2^x)$ ora so che il risultato è meno infinito dal libro. Quini non capisco perché il denominatore sia zero.
Venendo alle domande:
1) mi chiedevo se fosse lecito il passaggio di usare l'algebra degli infiniti e infinitesimi e fare quella "sostituzione che ho fatto sopra" nel coseno per poi continuare con il limite dopo come nulla fosse o se è un artifizio non valido.
2) vorrei capire perché $lim_(x->-∞) ((x+1)^2*2^x)=0$ O più semplicemente per capirne la logica perché $lim_(x->-∞) x^2*2^x=0$ Questo proprio mi sfugge completamente
Spero possiate rispondere ad entrambe le domande
Risposte
All'inizio hai fatto un po' di confusione, non è vero che $ lim_(x->-∞) cos((pi*x)/(x+1))=lim_(x->-∞) (pi*x)/(x(1+1/x)) $.
Per le due domande:
1) Teorema: il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti, quindi, se non finisci in una indeterminazione, puoi separare i fattori, determinare il limite di ciascuno e poi calcolarne il prodotto.
2)$ lim_(x->-∞) ((x+1)^2*2^x)=0 $ per calcolare questo limite puoi usare due vie: il confronto di infiniti o il teorema di De L'Hopital, in ogni caso entrambi solo dopo avergli dato una forma diversa
$ lim_(x->-∞) ((x+1)^2*2^x)= lim_(x->-∞) ((x+1)^2/2^(-x)) $
Per le due domande:
1) Teorema: il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti, quindi, se non finisci in una indeterminazione, puoi separare i fattori, determinare il limite di ciascuno e poi calcolarne il prodotto.
2)$ lim_(x->-∞) ((x+1)^2*2^x)=0 $ per calcolare questo limite puoi usare due vie: il confronto di infiniti o il teorema di De L'Hopital, in ogni caso entrambi solo dopo avergli dato una forma diversa
$ lim_(x->-∞) ((x+1)^2*2^x)= lim_(x->-∞) ((x+1)^2/2^(-x)) $
Hai ragione ho corretto la parte incriminata. E' stata una svista che suonava malissimo! Grazie.
Quindi in sostanza non è molto corretto ssotituire così: $lim_(x->-∞) (-pi*1/(x+1)^2)/(2^x*log2)$
Ma sarebbe più corretto prima "separare":
$lim_(x->-∞) (pi*cos((pi*x)/(x+1))*1/(x+1)^2)/(2^x*log2)=lim_(x->-∞) (pi*cos((pi*x)/(x+1)))/(2^x*log2) + lim_(x->-∞) (1/(x+1)^2)/(2^x*log2)=lim_(x->-∞) (pi*(-1))/(2^x*log2) + lim_(x->-∞) (1/(x+1)^2)/(2^x*log2)$
.... E proseguire?
Per gli altri punti tutti chiari, grazie mille
ho corretto la parte incriminata. E' stata una svista che suonava malissimo! Grazie.Quindi in sostanza non è molto corretto ssotituire così: $lim_(x->-∞) (-pi*1/(x+1)^2)/(2^x*log2)$
Ma sarebbe più corretto prima "separare":
$lim_(x->-∞) (pi*cos((pi*x)/(x+1))*1/(x+1)^2)/(2^x*log2)=lim_(x->-∞) (pi*cos((pi*x)/(x+1)))/(2^x*log2) + lim_(x->-∞) (1/(x+1)^2)/(2^x*log2)=lim_(x->-∞) (pi*(-1))/(2^x*log2) + lim_(x->-∞) (1/(x+1)^2)/(2^x*log2)$
.... E proseguire?
Per gli altri punti tutti chiari, grazie mille
Non $+$ ma $*$. Il resto va bene
$ lim_(x->-∞) (pi*cos((pi*x)/(x+1))*1/(x+1)^2)/(2^x*log2)=$
$=lim_(x->-∞) (pi*cos((pi*x)/(x+1)))/(2^x*log2) * lim_(x->-∞) (1/(x+1)^2)/(2^x*log2)=$
$=lim_(x->-∞) (pi*(-1))/(2^x*log2) * lim_(x->-∞) (1/(x+1)^2)/(2^x*log2) $
$ lim_(x->-∞) (pi*cos((pi*x)/(x+1))*1/(x+1)^2)/(2^x*log2)=$
$=lim_(x->-∞) (pi*cos((pi*x)/(x+1)))/(2^x*log2) * lim_(x->-∞) (1/(x+1)^2)/(2^x*log2)=$
$=lim_(x->-∞) (pi*(-1))/(2^x*log2) * lim_(x->-∞) (1/(x+1)^2)/(2^x*log2) $
Eh sì, ovviamente. Dormo ancora ma mi era chiaroi il teorema 
scusa.
Posso chiederti un'ultima cosa, sempre se avessi tempo di passare di qui viewtopic.php?f=36&t=188600 .
Perché ho visto che pilloeffe è stato gentilissimo ma nonmi ancora risposto e vorrei dedicarmi completamente ai limiti, e avendo quel dubbio continuo ad arrovellarmici sopra
In ogni caso grazie mille,mi hai aiutato moltissimo
scusa.Posso chiederti un'ultima cosa, sempre se avessi tempo di passare di qui viewtopic.php?f=36&t=188600 .
Perché ho visto che pilloeffe è stato gentilissimo ma nonmi ancora risposto e vorrei dedicarmi completamente ai limiti, e avendo quel dubbio continuo ad arrovellarmici sopra
In ogni caso grazie mille,mi hai aiutato moltissimo
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