Cardinalità di un Insime
Vorrei se fosse possibile un paio di delucidazioni:
La cardinalità di un insieme $A$ è il numero degli elementi di $A$ ad esempio $A={a,b,c}$ $|A|=3$ due insieme $A $ $B$ sono equi-cardinali se hanno la stessa cardinalità ed esiste una funzione totale biettiva $$ $ f:ArarrB $ mentre un insieme $A$ è Numerabile se ha la stessa cardinalità dell'insieme dei numeri Naturali!
Questa ultima definizione non la capisco un granché! Il discorso mi torna se voglio mettere in corrispondenza biunivoca insiemi infiniti, pero non mi torna tanto se penso al mio $A$ sicuramente è numerabile ma non ha la stessa cardinalità di $N$
Vorrei sapere, gentilmente, il significato matematico di queste frasi
"non è più che numerabile" quando un insieme non è più che numerabile?
"è almeno numerabile" quando un insieme è almeno numerabile?
La cardinalità di un insieme $A$ è il numero degli elementi di $A$ ad esempio $A={a,b,c}$ $|A|=3$ due insieme $A $ $B$ sono equi-cardinali se hanno la stessa cardinalità ed esiste una funzione totale biettiva $$ $ f:ArarrB $ mentre un insieme $A$ è Numerabile se ha la stessa cardinalità dell'insieme dei numeri Naturali!
Questa ultima definizione non la capisco un granché! Il discorso mi torna se voglio mettere in corrispondenza biunivoca insiemi infiniti, pero non mi torna tanto se penso al mio $A$ sicuramente è numerabile ma non ha la stessa cardinalità di $N$
Vorrei sapere, gentilmente, il significato matematico di queste frasi
"non è più che numerabile" quando un insieme non è più che numerabile?
"è almeno numerabile" quando un insieme è almeno numerabile?
Risposte
Attenzione. Un insieme è numerabile se può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali. Il tuo $A$ ha 3 elementi... Come fai a porlo in corrispondenza biunivoca con un insieme infinito come [tex]$\mathbb{N}[/tex]$? Non puoi.
Si dimostra che se un insieme è infinito, questo o è numerabile o è più che numerabile.
Si dimostra che se un insieme è infinito, questo o è numerabile o è più che numerabile.
Ok Grazie
Quindi: più che numerabile è uguale a numerabile?
ed almeno numerabile?
Quindi: più che numerabile è uguale a numerabile?
ed almeno numerabile?
No, non è affatto uguale. Più che numerabile si dice di un insieme infinito che non può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali.
Più che numerabili sono, per esempio, [tex]$\mathbb{C}$[/tex] oppure [tex]$\mathbb{R}$[/tex]. Non puoi "contare" i numeri reali, cioè non puoi costruire una successione di numeri reali che li esaurisca tutti. Se ti interessa, l'argomento è quello diagonale di Cantor.
Più che numerabili sono, per esempio, [tex]$\mathbb{C}$[/tex] oppure [tex]$\mathbb{R}$[/tex]. Non puoi "contare" i numeri reali, cioè non puoi costruire una successione di numeri reali che li esaurisca tutti. Se ti interessa, l'argomento è quello diagonale di Cantor.
Penso che ci sia un intoppo coi termini, provo a riassumere per ybor4.
Un insieme può essere finito o infinito: nel primo caso ha un numero finito di elementi, nel secondo caso ha un numero infinito di elementi.
Se un insieme è finito, la sua cardinalità è un numero naturale: 5, 71, 234....
Se un insieme è infinito, allora la sua cardinalità può essere:
- Numerabile
- Più che numerabile [o, come ho sempre sentito dire io, "non numerabile"]
Se è numerabile, significa, come ottimamente detto da Seneca, che i suoi elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con quelli di \(\mathbf{N}\), cioè puoi costruire una successione che li includa tutti, cioè "si possono contare".
Se è Non numerabile, allora non ci sono corrispondenze biunivoche con \(\mathbf{N}\) né successioni che li comprendano tutti.
Fine della storia. Chiaro?
Un insieme può essere finito o infinito: nel primo caso ha un numero finito di elementi, nel secondo caso ha un numero infinito di elementi.
Se un insieme è finito, la sua cardinalità è un numero naturale: 5, 71, 234....
Se un insieme è infinito, allora la sua cardinalità può essere:
- Numerabile
- Più che numerabile [o, come ho sempre sentito dire io, "non numerabile"]
Se è numerabile, significa, come ottimamente detto da Seneca, che i suoi elementi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con quelli di \(\mathbf{N}\), cioè puoi costruire una successione che li includa tutti, cioè "si possono contare".
Se è Non numerabile, allora non ci sono corrispondenze biunivoche con \(\mathbf{N}\) né successioni che li comprendano tutti.
Fine della storia. Chiaro?
Raptorista ti ringrazio mille per la spiegazione, anche se non mi ha chiarito del tutto le idee!
Seguendo la tua spiegazione un insieme D nè più che numerabile implica che D non è numerabile, ovvero che non può essere messo in corrispondenza biunivoca con N!
Nella dimostrazione che sto studiando una questo termine: " il che implica che D non è più che numerabile " la negazione (Non è ) implica che D è numerabile?
Ne approfitto per chiedere subito un altra delucidazione "il che implica che D è almeno numerabile" anche in questo caso vuol dire che è numerabile?
Grazie mille!
Seguendo la tua spiegazione un insieme D nè più che numerabile implica che D non è numerabile, ovvero che non può essere messo in corrispondenza biunivoca con N!
Nella dimostrazione che sto studiando una questo termine: " il che implica che D non è più che numerabile " la negazione (Non è ) implica che D è numerabile?
Ne approfitto per chiedere subito un altra delucidazione "il che implica che D è almeno numerabile" anche in questo caso vuol dire che è numerabile?
Grazie mille!
Se dici che l'insieme D non è "più che numerabile" escludi la terza alternativa, cioè è finito [ma penso sia escluso facilmente] oppure ha cardinalità numerabile.
Se invece dici che l'insieme D è "almeno numerabile" significa che come minimo è numerabile: magari è addirittura non numerabile, però di certo dici che non è finito.
Se invece dici che l'insieme D è "almeno numerabile" significa che come minimo è numerabile: magari è addirittura non numerabile, però di certo dici che non è finito.
Almeno numerabile sta ad indicare che il suo cardinale è almeno aleph zero( ossia la cardinalità di $ NN $ !!!
Vorrei chiudere ringraziando tutti per il prezioso aiuto, grazie mille!
È un piacere, buona serata!
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