Carattere serie armonica generalizzata

[insule23]

salve avrei bisogno del vostro aiuto..
studiare la convergenza della serie:

[math]\sum_{n=2}^{\infty }\frac{sin \frac{1}{n}}{log\, \, n}[/math]

abbiamo che la successione è a termini positivi..
notiamo che è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza...

ora però non riesco a continuare..
vorrei utilizzare il criterio del confronto asintotico
ma non riesco a capire come poterlo usare..
se mi potete aiutare...
fatemi sapere..
grazie.

[Studente Anonimo]

Dunque, vogliamo studiare il carattere della serie numerica

[math]\begin{aligned}\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\sin\frac{1}{n}}{\log n}\end{aligned}[/math]

.


Notando che per

[math]n \to +\infty[/math]

si ha

[math] \frac{\sin\frac{1}{n}}{\log n} \sim \frac{1}{n\,\log n}[/math]

e ricordando che

[math]\begin{aligned} \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{1}{k^a\log^b k} \, \begin{cases} converge & se \; a>1 \; \vee \; \left(a=1 \, \land \, b > 1\right) \\ diverge & altrimenti \end{cases} \end{aligned}[/math]

,


tale serie non può che divergere positivamente.


E' un po' più chiaro? :)

[insule23]

si grazie