Campo numeri reali dubbio

[chiaramc1]

Salve, sto studiando i numeri reali, ma mi viene un dubbio.

Vi è una definizione a livello assiomatico, ossia attribuire proprietà e relazioni che lo caratterizzano; il dubbio mi viene quando si introduce il concetto di campo, ossia per campo vorrei capire perché si intende (se ho capito bene) l'insieme avente come operazioni addizione e moltiplicazione; quando si parla di campo si parla dei numeri razionali e reali, mentre non si parla di campo quando si parla di naturali ed interi a livello insiemistico.

In breve, non ho capito cosa significa campo, potreste gentilmente spiegarmelo? Ho soltanto capito che il campo riguarda l'insieme dei numeri reali, complessi e razionali.

Grazie in anticipo

[axpgn]

Detto in modo informale: un campo è una struttura algebrica.
Le strutture algebriche sono "insiemi" composti da uno (o più) insiemi e da una o più "operazioni" che devono soddisfare certe condizioni/proprietà (diverse da struttura a struttura: esistono i campi, gli anelli, i gruppi, gli spazi metrici, gli spazi vettoriali, ecc. )
L'insieme dei numeri reali con le "usuali" operazioni di addizione e moltiplicazione soddisfa le condizioni per essere un campo, l'insieme dei numeri naturali no, non le soddisfa.
Tutto qui (si fa per dire )

Cordialmente, Alex

[chiaramc1]

grazie mille, siete stati chiarissimi.

In breve, per descrivere i numeri reali a livello di assioma (attribuire determinate caratteristiche e relazioni all'insieme) si deve introdurre il concetto di campo.
Il campo sarebbe una struttura algebrica dotata di più insiemi aventi determinate proprietà e caratteristiche soddisfatte che lo contraddistinguono, giusto?

Ad esempio il campo dei numeri reali ha addizione e moltiplicazione, la prima ammette opposto che da come risultato 0, la seconda ammette inverso moltiplicativo che dà 1; cosa che non è possibile in altri insiemi, come naturali e interi.

Quando si introduce il concetto di campo si parla di: numeri reali, complessi e razionali.

E' chiaro come ho spiegato? Grazie ancora

[ghira1]

"chiaramc":
Il campo sarebbe una struttura algebrica dotata di più insiemi aventi determinate proprietà e caratteristiche soddisfatte che lo contraddistinguono, giusto?

Un insieme con due operazioni, direi, più che "più insiemi".

"chiaramc":

Quando si introduce il concetto di campo si parla di: numeri reali, complessi e razionali.

Ci sono anche i campi finiti. Per esempio ${0,1}$ con operazioni $+$ e $\times$ tale che $0+0=0$, $0+1=1$, $1+0=1$, $1+1=0$, $0\times0=0$, $0\times1=0$, $1\times0=0$, $1\times1=1$.

[axpgn]

"chiaramc":E' chiaro come ho spiegato? Grazie ancora

"Chiaro" non è l'aggettivo giusto

I concetti di "numeri reali" e "campo" sono due cose distinte e indipendenti, una cosa non implica l'altra.
È vero che l'insieme dei numeri reali con le "solite" operazioni di addizione e moltiplicazione è un campo ma non è certo l'unico campo esistente (anche se probabilmente è il più famoso e il più usato )
Quindi non mescolare le due cose.
La definizione di uno non implica la definizione dell'altro e viceversa.

Cordialmente, Alex

[marco2132k]

"chiaramc":Vi è una definizione a livello assiomatico

Puoi definire i numeri reali a partire da \( \mathbb Q \) in trecento modi diversi, a patto che tali costruzioni soddisfino agli assiomi di campo, d'ordine e all'assioma di completezza.

Spero di chiarirti le idee con un esempio. Sentiti libera di ignorarmi se è troppo lungo.

Diciamo che, dati due interi \( x \) ed \( y \), è \( x\equiv y\pmod 2 \) o \( x\equiv_2 y \) (leggi "\( x \) è equivalente a \( y \) modulo \( 2 \)") se \( 2 \) divide la differenza \( x - y \) (i.e., se \( x - y = k2 \), per qualche \( k\in\mathbb Z \)). Ti lascio da verificare che tale relazione è di equivalenza. Sull'insieme \( \mathbb Z_2 \) delle classi di equivalenza per \( {\equiv_2} \), i.e., degli insiemi
\[
[x]_2 := \{y\in\mathbb Z:x\equiv y\pmod 2\}
\] per \( x\in\mathbb Z \), definiamo una funzione (che denotiamo con \( {+} \)) come \( [x]_2 + [y]_2 := [x + y]_2 \), e un'altra funzione \( {\cdot} \) come \( [x]_2\cdot[y]_2 := [xy]_2 \), per ogni \( [x]_2,[y]_2\in\mathbb Z_2 \). Ti lascio verificare che (è \( \mathbb Z_2 = \left\{[0]_2,[1]_2\right\} \) e che) valgono le seguenti tabelle (si interpretano così; sulla prima, nel buco, dovrebbe esserci un \( {+} \), sulla seconda, un \( {\cdot} \), ma non so metterli):
\[
\begin{matrix}+ & [0]_2 & [1]_2\\
[0]_2 & [0]_2 & [1]_2\\
[1]_2 & [1]_2 & [0]_2
\end{matrix}\qquad
\begin{matrix}
\cdot & [0]_2 & [1]_2\\
[0]_2 & [0]_2 & [0]_2\\
[1]_2 & [0]_2 & [1]_2
\end{matrix}
\]
Ora, considera l'insieme \( \mathbb F_2 = \{0,1\}\subset\mathbb N \), dotato delle due funzioni \( {+_F} \) e \( {\cdot_F} \) che mappano
\[
\begin{align*}
x +_F y &:= x + y\\
x\cdot_F y &:= xy
\end{align*}
\] dove i \( {+} \) e l'accostare direttamente i due naturali \( 0,1\in\mathbb N \) denotano le usuali operazioni di somma e prodotto.

Se costruisci la tabella di moltiplicazione di \( \mathbb F_2 \), e la confronti con quella di \( \mathbb Z_2 \), ti accorgi "che sono uguali": o meglio, che identificando \( 0\in\mathbb F_2 \) con \( [0]_2\in\mathbb Z_2 \) e \( 1\in\mathbb F_2 \) con \( [1]_2\in\mathbb Z_2 \), sono sovrapponibili.

Come esempio più informale (perché di logica non so una s3ga), al posto di \( 0 \), \( +_F \), ecc. avresti potuto considerare le classi di equivalenza sull'insieme di tutte le proposizioni rispetto alla relazione \( \mathscr P\sim\mathscr Q \) se e solo se la proposizione \( \mathscr P \) ha lo stesso valore di verità della proposizione \( \mathscr Q \): ti saresti accorta che, ponendo \( {+} \) (ormai senza pedice, perché spero tu abbia capito che, di fondo, c'è overload di quel simbolo) pari alla congiunzione logica tra classi definita in modo ovvio per classi rispetto a \( \sim \) come \( [\mathscr P]_\sim\lor[\mathscr Q]_\sim := [\mathscr P\lor\mathscr Q]_\sim \) [1], e \( {\cdot} \) pari al prodotto logico \( {\land} \) definito in modo simile par tali classi[2], ancora avresti ottenuto le stessa tabelle di addizione e moltiplicazione identificando lo \( 0 \) di \( \mathbb F_2 \) o di \( \mathbb Z_2 \) con \( [\bot]_\sim \) e l'\( 1 \) con \( [\top]_\sim \), dove \( \bot \) è la proposizione sempre falsa, e \( \top \) è sempre true.

[1] La proposizione \( \mathscr P\lor\mathscr Q \) è vera se e solo se, per definizione, almeno una delle due è vera.
[2]Dove \( \mathscr P\land\mathscr Q \) è vera se e solo se, per def., entrambe le proposizioni \( \mathscr P \) e \( \mathscr Q \) lo sono.

Per un uso pratico di uno qualsiasi di questi insiemi non è importante se i suoi elementi sono i due naturali \( 0 \) e \(
1 \), oppure i due insiemi dei numeri interi pari e dispari, oppure due classi di equivalenza di proposizioni rispetto alla relazione "ha lo stesso valore di verità". Ciò che importa sono le tabelle di moltiplicazione.

Una cosa simile la puoi dire per le tante costruzioni di \( \mathbb R \) da \( \mathbb Q \). Esistono molti campi, ma le tabelle di moltiplicazione di due campi dove ci sia un particolare ordine e valga l'assioma di completezza coincidono (come le tabelle di \( \mathbb F_2 \) e \( \mathbb Z_2 \)). Una volta verificato che la tua costruzione di \( R \) (da \( Q \) o da ciò che vuoi) soddisfa a tali assiomi, puoi smettere di pensare a "che sono" gli elementi, e curarti solo delle relazioni a cui essi soddisfano.

Un campo \( C \), dicevamo, è semplicemente un insieme \( C \), dove siano date due funzioni \( \sigma \) e \( \pi \) che mappino una coppia \( (x,y) \) di elementi di \( C \) in un altro elemento di \( C \), di modo che siano soddisfatte le proprietà di campo (le trovi in qualsiasi testo di algebra astratta, che ti consiglio di consultare). Che chi scrive la definizione di campo denoti la funzione \( \sigma \) con \( {+} \) e la chiami somma (e faccia una cosa simile con \( \pi \)), non implica che queste due operazioni siano necessariamente quelle di \( \mathbb R \)! In tutti gli esempi precedenti ti ho presentato campi, ad esempio, ma operazioni erano sempre diverse da quelle di \( \mathbb R \) (sempre tenendo conto che, di nuovo, l'\( \mathbb R \) che hai in mente tu è diverso dall'\( \mathbb R \) che ho in mente io e che semplicemente sono due cose che soddisfano agli stessi requisiti).

Aggiunta. Ho parlato di overload. In pratica, puoi denotare una funzione "\( f(x,y) \)" (io scriverei \( (x,y)\mapsto f(x,y) \): la notazione precedente è vecchia e sconsigliata; mi auguro solo che ti sia più familiare) di due variabili come ti pare, specialmente con \( {+} \). Ma, in questo relativismo, quando va denotata con \( {+} \)? L'unica via è imporre delle costrizioni sugli out di quella funzione. Non è un'imposizione divina, ma queste costrizioni sono gli assiomi, per come me l'immagino io, di gruppo commutativo. Poi dovrebbe esserti facile generalizzare.

È tutto un po' troppo divulgativo, me ne rendo conto...

[gugo82]

"marco2132k":È tutto un po' troppo divulgativo, me ne rendo conto…

Per una stanza di scuola secondaria?… Forse non hai letto bene dove stavi postando.

[chiaramc1]

grazie mille