Campo di esistenza di una funzione
Ho bisogno del vostro aiuto perché mi sto scervellando a capire un concetto che mi sfugge...
Devo trovare il Campo di Esistenza di una funzione:
$ y=ln (ln x) $
A quanto mi è sembrato di capire, la funzione logaritmo necessita dell'argomento maggiore di zero per esistere. Allora, nel nostro caso, si devono tenere insieme due condizioni:
$ ln x>0 $
e
$ x>0 $
La prima delle due comporta che:
$ x>1 $
Quindi se io metto a sistema queste due cose, ho:
Però la soluzione del libro è diversa, infatti è:
$ x>1 $
Cosa sto sbagliando nel mio ragionamento?
Devo trovare il Campo di Esistenza di una funzione:
$ y=ln (ln x) $
A quanto mi è sembrato di capire, la funzione logaritmo necessita dell'argomento maggiore di zero per esistere. Allora, nel nostro caso, si devono tenere insieme due condizioni:
$ ln x>0 $
e
$ x>0 $
La prima delle due comporta che:
$ x>1 $
Quindi se io metto a sistema queste due cose, ho:
Però la soluzione del libro è diversa, infatti è:
$ x>1 $
Cosa sto sbagliando nel mio ragionamento?
Risposte
"Gregorius":
$ x>0 $
E poi nell'immagine dici $x<0$. Perché?
"ghira":
[quote="Gregorius"]
$ x>0 $
E poi nell'immagine dici $x<0$. Perché?[/quote]
Perché è il risultato del mio tentativo di fare il cosiddetto "studio del segno", se sommo quelle due linee, ne risulta quella in basso... ho sbagliato?
"Gregorius":
Perché è il risultato del mio tentativo di fare il cosiddetto "studio del segno", se sommo quelle due linee, ne risulta quella in basso... ho sbagliato?
Non ti seguo. Dici $x>0$ e $x>1$. E deduci che $x$ deve essere simultaneamente minore di 0 e maggiore di 1. Perché?
Se $x>0$ e $x>1$ sembra evidente che $x>1$ e buonanotte.
"ghira":
[quote="Gregorius"]
Perché è il risultato del mio tentativo di fare il cosiddetto "studio del segno", se sommo quelle due linee, ne risulta quella in basso... ho sbagliato?
Non ti seguo. Dici $x>0$ e $x>1$. E deduci che $x$ deve essere simultaneamente minore di 0 e maggiore di 1. Perché?
Se $x>0$ e $x>1$ sembra evidente che $x>1$ e buonanotte.[/quote]
Guarda ad esempio questa immagine:
Come mai due linee di "tratteggiate" danno poi una linea di "più"? Io mi sono basato su questo tipo di ragionamento
Ne ho un'altra con lo stesso tipo di difficoltà:
$ y = (ln x)/(sqrt(x^2-25)) $
Anche in questo dobbiamo avere tre condizioni per il Campo di Esistenza:
$ x>0 $
$ x> -5 $
$ x>5 $
Allora come si procede ora?
Si fa quello schema delle linee tratteggiate? Oppure si vede dove sono verificate tutte insieme le diverse condizioni?
Nel primo caso si ha:
$ -50^^ x>5 $
Nel secondo caso invece si ha:
$ x>5 $
$ y = (ln x)/(sqrt(x^2-25)) $
Anche in questo dobbiamo avere tre condizioni per il Campo di Esistenza:
$ x>0 $
$ x> -5 $
$ x>5 $
Allora come si procede ora?
Si fa quello schema delle linee tratteggiate? Oppure si vede dove sono verificate tutte insieme le diverse condizioni?
Nel primo caso si ha:
$ -5
Nel secondo caso invece si ha:
$ x>5 $
studiare i segni e studiare l'esistenza sono due cose diverse.
In questo esercizio su $ln(ln(x))$ non ti chiedono dove è positivo, zero o negativo, solo dove è definito.
In questo esercizio su $ln(ln(x))$ non ti chiedono dove è positivo, zero o negativo, solo dove è definito.
"Gregorius":
Ne ho un'altra con lo stesso tipo di difficoltà:
$ y = (ln x)/(sqrt(x^2-25)) $
Anche in questo dobbiamo avere tre condizioni per il Campo di Esistenza:
$ x>0 $
$ x> -5 $
$ x>5 $
No. Abbiamo due condizioni, direi.
$x>0$ perché altrimenti $ln(x)$ non esiste.
E $x<-5 \cup x>5$ perché altrimenti la radice quadrata non esiste.
Per soddisfare entrambe le condizioni, bisogna avere $x>5$. Fine.
"Gregorius":
$ -50^^ x>5 $
Perché $-5
E sei sicuro/a di conoscere la differenza fra $\cup$ e $\cap$?
Stai mescolando cose diverse ...
Nella funzione originaria ($y=ln(ln(x))$), affinché sussista si devono verificare CONTEMPORANEAMENTE due condizioni, quelle che hai scritto.
Le soluzioni di una disequazione sono, in generale, un INSIEME, quindi avrai l'insieme delle soluzioni della prima disequazione ($ln(x)>0$) e l'insieme delle soluzioni della seconda disequazione ($x>0$).
La funzione esiste per quei valori della $x$ che si trovano sia nel primo che nel secondo insieme e perciò le trovi facendo l'intersezione fra i due, non l'unione.
Nella funzione originaria ($y=ln(ln(x))$), affinché sussista si devono verificare CONTEMPORANEAMENTE due condizioni, quelle che hai scritto.
Le soluzioni di una disequazione sono, in generale, un INSIEME, quindi avrai l'insieme delle soluzioni della prima disequazione ($ln(x)>0$) e l'insieme delle soluzioni della seconda disequazione ($x>0$).
La funzione esiste per quei valori della $x$ che si trovano sia nel primo che nel secondo insieme e perciò le trovi facendo l'intersezione fra i due, non l'unione.
"Gregorius":
Perché è il risultato del mio tentativo di fare il cosiddetto "studio del segno", se sommo quelle due linee, ne risulta quella in basso... ho sbagliato?
Direi di sì. Anche perché l'insieme che nomini nell'immagine è l'insieme vuoto ma dall'immagine stessa non sembra vuoto. Qualcosa non va. Stai facendo l'intersezione degli insiemi sbagliati e il tuo risultato è doppiamente sbagliato in quanto hai disegnato un insieme che non è quello che hai detto di voler trovare e non è nemmeno la risposta al problema.
"Gregorius":
Come mai due linee di "tratteggiate" danno poi una linea di "più"?
Dimmelo tu. Cosa sta succedendo in questa immagine?
"Gregorius":
Io mi sono basato su questo tipo di ragionamento
Quale ragionamento?
Avete ragione, io avevo una gran confusione in testa, ho scambiato i connettori logici, e ho sbagliato altri concetti...
Insomma, vi ringrazio perché mi avete fatto notare che sbagliavo!
Insomma, vi ringrazio perché mi avete fatto notare che sbagliavo!
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