Calcolo valori da altri noti
Ciao a tutti,
Sono nuovo del forum, avrei bisogno di calcolare dei valori partendo da altri noti
Provo a spiegarmi meglio: supponiamo in un grafico di mettere nelle ordinate l' altezza e nelle ascisse i litri e che il grafico non sia lineare, io so che a 50cm ci sono 2 litri,ad 80 2,2 litri, a 100 2,3 litri, a 200 6 litri e cosi via (ho messo valori a caso). c'e' un modo per calcolare in modo piu preciso possibile quanti litri ci sono a 70cm (a ad un altra altezza)?
Grazie
Sono nuovo del forum, avrei bisogno di calcolare dei valori partendo da altri noti
Provo a spiegarmi meglio: supponiamo in un grafico di mettere nelle ordinate l' altezza e nelle ascisse i litri e che il grafico non sia lineare, io so che a 50cm ci sono 2 litri,ad 80 2,2 litri, a 100 2,3 litri, a 200 6 litri e cosi via (ho messo valori a caso). c'e' un modo per calcolare in modo piu preciso possibile quanti litri ci sono a 70cm (a ad un altra altezza)?
Grazie
Risposte
Bhé, se non c'è proporzionalità direi di no. Per quei quattro punti passano potenzialmente infiniti grafici di funzioni.
A quanto detto da Delirium aggiungo che di solito in quei casi si approssima il grafico con una parabola, scelta perché la sua formula è la più semplice dopo quella della retta.C 'è anche una formula ad essa relativa (se ti serve la cerco) ma se non ricordo male presuppone che i dati sull'asse x siano equidistanti fra loro.
Ciao, non c'e' proporzionalita'.
La formula mi serve per calcolare quanti litri sono contenuti in un serbatoio di forma irregolare, i punti possono essere anche piu' di 4. dici che la formula della parabola possa andare bene?
La formula mi serve per calcolare quanti litri sono contenuti in un serbatoio di forma irregolare, i punti possono essere anche piu' di 4. dici che la formula della parabola possa andare bene?
Ciao!
Problema interessante,mi pare;
diciamo che una prima approssimazione,alla carlona,di quel volume,
è che esso è compreso tra quello del più grande parallelepipedo contenibile nel tuo serbatoio e quello del più piccolo che lo contiene:
ma se si vuole possiamo affinarla..
Saluti dal web.
Problema interessante,mi pare;
diciamo che una prima approssimazione,alla carlona,di quel volume,
è che esso è compreso tra quello del più grande parallelepipedo contenibile nel tuo serbatoio e quello del più piccolo che lo contiene:
ma se si vuole possiamo affinarla..
Saluti dal web.
Ciao, si e' abbastanza interessante e utile direi 
oltre ai volumi contenuti a determinate altezze (dati da chi ha progettato il serbatoio) so solo l'altezza a cui voglio sapere i litri contenuti....cioe' se so che a 1 mt ci sono 10 litri e a 2 metri ce ne sono 18, quanti ce ne sono ad 1,5 metri? inizialmente avevo pensato ad un integrale, ma dopo non mi e' sembrata una buona idea.... che ne dici?
oltre ai volumi contenuti a determinate altezze (dati da chi ha progettato il serbatoio) so solo l'altezza a cui voglio sapere i litri contenuti....cioe' se so che a 1 mt ci sono 10 litri e a 2 metri ce ne sono 18, quanti ce ne sono ad 1,5 metri? inizialmente avevo pensato ad un integrale, ma dopo non mi e' sembrata una buona idea.... che ne dici?
A me,invece,la strada sembra proprio quella,
perchè stò implicitamente pensando come spunto di calcolo ad un integrale doppio
(che,se non lo sai,è una generalizzazione al caso spaziale del caso piano trattato dall'integrale definito,
e "restituisce" proprio una misura di volume..):
ma non son certo sia la via più breve,perchè la sua bontà dipende molto dal "tipo d'irregolarità" del tuo serbatoio!
Diciamo che un buon metodo potrebbe essere pensare di tagliare il tuo serbatoio alla quota corrispondente all'altezza cui sei interessato,
ed infilargli dentro un numero di parallelepipedi "attaccati"
(non necessariamente equidimensionali tra loro..)
che lasci fuori una porzione il più possibile trascurabile del volume del "sottoserbatoio" che otteresti:
saluti dal web.
perchè stò implicitamente pensando come spunto di calcolo ad un integrale doppio
(che,se non lo sai,è una generalizzazione al caso spaziale del caso piano trattato dall'integrale definito,
e "restituisce" proprio una misura di volume..):
ma non son certo sia la via più breve,perchè la sua bontà dipende molto dal "tipo d'irregolarità" del tuo serbatoio!
Diciamo che un buon metodo potrebbe essere pensare di tagliare il tuo serbatoio alla quota corrispondente all'altezza cui sei interessato,
ed infilargli dentro un numero di parallelepipedi "attaccati"
(non necessariamente equidimensionali tra loro..)
che lasci fuori una porzione il più possibile trascurabile del volume del "sottoserbatoio" che otteresti:
saluti dal web.
Beh non ci dovrebbero essere eccessive irregolarita, cmq sempre meglio di considerarlo lineare, sbaglio?
Mi potete aiutare con le formule visto che sono un poco arrugginito in materia?
Grazie
Mi potete aiutare con le formule visto che sono un poco arrugginito in materia?
Grazie
Ho cercato sui miei libri e ho trovato le formule di interpolazione di Newton che sarebbero magnifiche perché permettono di approssimare con un polinomio di qualsiasi grado con una fatica non eccessiva; hanno però il difetto che le $x$ devono essere equispaziate. Ho allora provato a fare io i calcoli per approssimare con una parabola e il risultato non è certo esaltante; comunque te lo riporto, precisando però che non l'ho verificato numericamente e quindi non posso garantire che non ci siano errori di distrazione.
Indico con $x$ l'altezza che ti interessa e con $a,b,c$ tre altezze per cui sai il volume (due saranno quelle immediatamente sopra e sotto ad $x$ e la terza sarà quella che è più vicina ad $x$, escluse le precedenti); indico con y il volume da calcolare e con $y_a,y_b,y_c$ i volumi noti. Ottengo
$y=(y_a(b-c)(x-b)(x-c)+y_b(c-a )(x-c)(x-a)+y_c(a-b)(x-a)(x-b))/((b-a)(b-c)(c-a))$
Aggiungo un suggerimento che non ha nulla a che fare con le formule ma che forse è il più comodo: riporta in grafico tutti i valori noti e poi disegna a mano la curva che, ad intuito, li approssima meglio: il grafico ti fornirà il dato richiesto.
Indico con $x$ l'altezza che ti interessa e con $a,b,c$ tre altezze per cui sai il volume (due saranno quelle immediatamente sopra e sotto ad $x$ e la terza sarà quella che è più vicina ad $x$, escluse le precedenti); indico con y il volume da calcolare e con $y_a,y_b,y_c$ i volumi noti. Ottengo
$y=(y_a(b-c)(x-b)(x-c)+y_b(c-a )(x-c)(x-a)+y_c(a-b)(x-a)(x-b))/((b-a)(b-c)(c-a))$
Aggiungo un suggerimento che non ha nulla a che fare con le formule ma che forse è il più comodo: riporta in grafico tutti i valori noti e poi disegna a mano la curva che, ad intuito, li approssima meglio: il grafico ti fornirà il dato richiesto.
Grazie
Tra a b c quale deve essere o altezza sopra e quella sotto? e per la terza come faccio? Prendo 2 altezze sotto o sopra a seconda di quella più vicina?
Con il grafico sarebbe più facile ma vorrei creare un software che me lo calcoli in automatico
Tra a b c quale deve essere o altezza sopra e quella sotto? e per la terza come faccio? Prendo 2 altezze sotto o sopra a seconda di quella più vicina?
Con il grafico sarebbe più facile ma vorrei creare un software che me lo calcoli in automatico
Non ha alcuna importanza quale fra a b c è sopra o sotto perchè nella formula le tre lettere sono trattate nello stesso modo; l'unica cosa importante è che ad $a$ corrisponda $y_a$ e simili, come ovvio. Per la terza la tua ipotesi è giusta.
Aggiungo una mia idea: probabilmente il serbatoio ha la forma tipica dei serbatoi, cioè un cilindro avente le basi in verticale con due calotte (all'incirca sferiche o paraboliche o altro, secondo la comodità dei calcoli) alle estremità. Se confermi, i volenterosi che cercano di aiutarti avranno una base di partenza. Non ho provato a risolvere questo problema ed è probabile che si incontrino equazioni non risolubili in formula ma forse si può aggirare l'ostacolo.
In passato (credo negli anni fra il 2007 e il 2010) avevo già collaborato ad un problema sui serbatoi e te ne manderei il link, ma mezz'ora di ricerche non mi sono bastate per trovarlo e non posso dedicarvi altro tempo. Là si trascuravano le calotte e i dati forniti erano raggio di base ed altezza del cilindro, non la corrispondenza altezza-volume. Se la cosa ti può interessare, mi è abbastanza facile ricalcolare la formula relativa.
Aggiungo una mia idea: probabilmente il serbatoio ha la forma tipica dei serbatoi, cioè un cilindro avente le basi in verticale con due calotte (all'incirca sferiche o paraboliche o altro, secondo la comodità dei calcoli) alle estremità. Se confermi, i volenterosi che cercano di aiutarti avranno una base di partenza. Non ho provato a risolvere questo problema ed è probabile che si incontrino equazioni non risolubili in formula ma forse si può aggirare l'ostacolo.
In passato (credo negli anni fra il 2007 e il 2010) avevo già collaborato ad un problema sui serbatoi e te ne manderei il link, ma mezz'ora di ricerche non mi sono bastate per trovarlo e non posso dedicarvi altro tempo. Là si trascuravano le calotte e i dati forniti erano raggio di base ed altezza del cilindro, non la corrispondenza altezza-volume. Se la cosa ti può interessare, mi è abbastanza facile ricalcolare la formula relativa.
ho i valori del progettista, cosi ti fai un idea di come e' fatta la cisterna;
mm litri
50 18
100 40
150 87
200 150
250 212
300 275
350 337
400 400
Mi puoi spiegare meglio la formula per favore?
mm litri
50 18
100 40
150 87
200 150
250 212
300 275
350 337
400 400
Mi puoi spiegare meglio la formula per favore?
Ma questi dati cambiano tutto! Le altezze sono equispaziate e quindi si potrebbero usare le formule di Newton, che però diventano superflue. Prima di addentrarmi nel problema ti avviso che, per evitarmi troppi zeri finali, ho sempre usato i centimetri per le altezze mentre il progettista usa i millimetri nel rispetto del Sistema Internazionale e della legislazione italiana.
Notiamo che al di sopra dei 10 cm i volumi aumentano di 62 o 63 litri ogni 5 cm e poiché i dati sono espressi in numeri interi possiamo dire che l'aumento è costante, con risultati arrotondati per eccesso o per difetto; evidentemente a partire da quell'altezza le pareti del serbatoio salgono verticalmente. La formula che rappresenta i dati per questi valori è $V=12,52x-100,8$ (V=volume in litri, x=altezza in cm).
Al di sotto invece i dati aumentano in modo non uniforme; c'è una conca che sta allargandosi. Qui i dati sono troppo pochi per dire con precisione qual è l'andamento; una formula che dà i valori voluti è $V=0,08x^2+3,2x$.
I dati delle due formule si raccordano per $x=11,5$ quindi userai la prima formula per altezze superiori a questa e la seconda per quelle inferiori.
Notiamo che al di sopra dei 10 cm i volumi aumentano di 62 o 63 litri ogni 5 cm e poiché i dati sono espressi in numeri interi possiamo dire che l'aumento è costante, con risultati arrotondati per eccesso o per difetto; evidentemente a partire da quell'altezza le pareti del serbatoio salgono verticalmente. La formula che rappresenta i dati per questi valori è $V=12,52x-100,8$ (V=volume in litri, x=altezza in cm).
Al di sotto invece i dati aumentano in modo non uniforme; c'è una conca che sta allargandosi. Qui i dati sono troppo pochi per dire con precisione qual è l'andamento; una formula che dà i valori voluti è $V=0,08x^2+3,2x$.
I dati delle due formule si raccordano per $x=11,5$ quindi userai la prima formula per altezze superiori a questa e la seconda per quelle inferiori.
ciao, grazie.....
I serbatoi non sono cilindrici e il loro fondo e' piatto.
C'e' una regola generale per il calcolo? Perche' ci sono anche dei serbatoi di capacita' diversa e vorrei usare per tutti la stessa formula.
Se ti puo' essere utile mi sono fattto dare le specifiche di tutti i serbatoi
I serbatoi non sono cilindrici e il loro fondo e' piatto.
C'e' una regola generale per il calcolo? Perche' ci sono anche dei serbatoi di capacita' diversa e vorrei usare per tutti la stessa formula.
Se ti puo' essere utile mi sono fattto dare le specifiche di tutti i serbatoi
Una regola generale non può esserci perché dipende da come è fatto il serbatoio: se le sue pareti sono in verticale il volume è dato dalla sua superficie di base (di qualunque forma) per l'altezza e se non sai la superficie di base puoi ricavarla calcolando (un qualsiasi volume dato)/(altezza corrispondente). Con pareti oblique le cose cambiano; ad esempio, quello di cui mi hai fornito i dati aveva certamente pareti oblique fin verso i 10 cm e verticali poi.
Faccio però un'osservazione di buon senso: a meno che tu utilizzi strumenti di precisione, l'altezza è conosciuta solo approssimativamente e quindi non puoi sapere il volume esatto; ne consegue che è inutile cercare una formula di alta precisione e che la normale interpolazione lineare è sufficiente. E se per caso sbagli di circa mezzo litro o poco più, non credo sia molto grave.
Faccio però un'osservazione di buon senso: a meno che tu utilizzi strumenti di precisione, l'altezza è conosciuta solo approssimativamente e quindi non puoi sapere il volume esatto; ne consegue che è inutile cercare una formula di alta precisione e che la normale interpolazione lineare è sufficiente. E se per caso sbagli di circa mezzo litro o poco più, non credo sia molto grave.
ciao, occorre che sia precisissima.... Posso sbagliare anche di 1 o 2 litri
Si spera anche di più: riferendomi al serbatoio di cui hai fornito i dati, ogni millimetro di errore sull'altezza comporta un errore di 1,25 litri sul volume; non so come misuri l'altezza ma mi sembra probabile un'imprecisione anche di 2 o 3 mm.
A parte questo, se i serbatoi assomigliano a quello considerato l'interpolazione lineare dà risultati precisi nella parte alta (nel nostro, oltre i 10 cm) in cui l'andamento è veramente rettilineo.
Toglimi una curiosità: quale preziosissimo liquido contengono?
A parte questo, se i serbatoi assomigliano a quello considerato l'interpolazione lineare dà risultati precisi nella parte alta (nel nostro, oltre i 10 cm) in cui l'andamento è veramente rettilineo.
Toglimi una curiosità: quale preziosissimo liquido contengono?
acqua, olio e gasolio...... Cmq l'errrore e, accegtabile, sempre meglio di trattarlo come un parallelepipedo perfetto, sbaglio?
Farebbe comodo che fosse valida per ogni cisterna la stessa formula, lineare o no che sia il suo contenuto
Farebbe comodo che fosse valida per ogni cisterna la stessa formula, lineare o no che sia il suo contenuto
Non è necessario che sia un parallelepipedo: la linearità si ha tutte le volte che le pareti sono verticali, qualunque sia la forma della base, e continua ad esserci anche se questa verticalità si realizza solo da un certo punto in poi (ovvio, limitatamente alle zone di verticalità).
Gli altri casi vanno esaminati uno per uno; se però i dati del progettista sono abbastanza numerosi è molto probabile che l'errore commesso per l'interpolazione sia decisamente inferiore a quello dovuto all'imprecisione sull'altezza.
Gli altri casi vanno esaminati uno per uno; se però i dati del progettista sono abbastanza numerosi è molto probabile che l'errore commesso per l'interpolazione sia decisamente inferiore a quello dovuto all'imprecisione sull'altezza.
i dati sono circa una decina, sarebbe comodo avere una dormula generalizzata, in modo da inserirla in un forglio di calcolo
Continuo a pensare che l'interpolazione llineare sia ampiamente sufficiente; se però desideri una formula più complessa, te ne do due fra cui scegliere.
Formula di Lagrange
Va bene anche se le altezze date non sono equispaziate; la formula che ti ho dato qualche post fa ne è un caso particolare (se l'avessi vista prima avrei faticato meno). Per trasferirla su foglio elettronico è però scomodo dover ogni volta stabilire se prendere quella due passi avanti o due indietro; puoi stabilirlo arbitrariamente una volta per tutte oppure puoi prenderle entrambe, avendo così le quattro altezze $a,b,c,d$ (in qualsiasi ordine). In quest'ultimo caso la formula è un po' troppo lunga per scrivertela veramente ma puoi farlo tu; il volume corrispondente all'altezza $x$ è la somma di quattro addendi, di cui il primo è
$V_a*((x-b)(x-c)(x-d))/((a-b)(a-c)(a-d))$
e gli altri si ottengono da questo con una permutazione ciclica su $a,b,c,d$, sostituendo cioè ad ogni lettera quella che la segue nell'alfabeto e considerando $a$ successivo a $d$.
Formula di Newton
Può essere usata solo se le altezze sono equispaziate, cioè se la differenza fra due altezze consecutive ha sempre lo stesso valore, che chiamerò $d$; indico con $x_0$ la prima altezza nota e con $V_0$ il volume corrispondente; pongo $q=(x-x_0)/d$.
Scrivo, una sotto l'altra, le differenze fra due volumi consecutivi e se sono tutte uguali fra loro (trascurando le variazioni casuali) non continuo. Se variano in modo regolare, in un'altra colonna scrivo le differenze fra queste differenze; se necessario faccio una terza colonna, eccetera. Indicando ora con $D_1, D_2, D_3,...$ il primo numero di ogni colonna, si ha
$V=V_0+q/1D_1+(q(q-1))/(1*2)D_2+(q(q-1)(q-2))/(1*2*3)D_3+(q(q-1)(q-2)(q-3))/(1*2*3*4)D_4+....$
Naturalmente se ti sei fermato alle prime colonne consideri solo i primi addendi.
Formula di Lagrange
Va bene anche se le altezze date non sono equispaziate; la formula che ti ho dato qualche post fa ne è un caso particolare (se l'avessi vista prima avrei faticato meno). Per trasferirla su foglio elettronico è però scomodo dover ogni volta stabilire se prendere quella due passi avanti o due indietro; puoi stabilirlo arbitrariamente una volta per tutte oppure puoi prenderle entrambe, avendo così le quattro altezze $a,b,c,d$ (in qualsiasi ordine). In quest'ultimo caso la formula è un po' troppo lunga per scrivertela veramente ma puoi farlo tu; il volume corrispondente all'altezza $x$ è la somma di quattro addendi, di cui il primo è
$V_a*((x-b)(x-c)(x-d))/((a-b)(a-c)(a-d))$
e gli altri si ottengono da questo con una permutazione ciclica su $a,b,c,d$, sostituendo cioè ad ogni lettera quella che la segue nell'alfabeto e considerando $a$ successivo a $d$.
Formula di Newton
Può essere usata solo se le altezze sono equispaziate, cioè se la differenza fra due altezze consecutive ha sempre lo stesso valore, che chiamerò $d$; indico con $x_0$ la prima altezza nota e con $V_0$ il volume corrispondente; pongo $q=(x-x_0)/d$.
Scrivo, una sotto l'altra, le differenze fra due volumi consecutivi e se sono tutte uguali fra loro (trascurando le variazioni casuali) non continuo. Se variano in modo regolare, in un'altra colonna scrivo le differenze fra queste differenze; se necessario faccio una terza colonna, eccetera. Indicando ora con $D_1, D_2, D_3,...$ il primo numero di ogni colonna, si ha
$V=V_0+q/1D_1+(q(q-1))/(1*2)D_2+(q(q-1)(q-2))/(1*2*3)D_3+(q(q-1)(q-2)(q-3))/(1*2*3*4)D_4+....$
Naturalmente se ti sei fermato alle prime colonne consideri solo i primi addendi.
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