Calcolo punti stazionari

[KatieP]

Ho la funzione 1/2*ln^2(2 -x^2 - x^3) e l'esercizio mi chiede di studiare la funzione limitandomi allo studio della derivata prima. Il problema è che nel calcolo della derivata ottengo come punti stazionari x = 0 e x = 2/3 che non appartengono al dominio della funzione e le soluzioni di ln(2 - x^2 -x^3) che non so ricavare ...qualcuno mi può aiutare ? Grazie

[@melia]

credo che tu abbia sbagliato il dominio della funzione che è $x<1$, inoltre i 2 punti stazionari immediati sono $x= -2/3$ e $x=0$, poi devi studiare anche $ln(2-x^2-x^3) >=0$, ovvero $2-x^2-x^3>=1$ che ho risolto graficamente intersecando la cubica $y=-x^3-x^2$ con la retta $y= -1$, si ottiene $x<=alpha$ con $0,68

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[KatieP]

Ho fatto un errore, l'argomento del logaritmo è x^3 - x^2 + 2 ....il dominio non si calcola imponendo l'argomento maggiore di 0?

[mazzarri1]

ciao Nereide!!

Si il dominio si calcola imponendo l'argomento del logaritmo come positivo... allora anzitutto con Ruffini cerchiamo di scomporre il polinomio di terzo grado

$x^3-x^2+2=(x+1)(x^2 -2x+2)$

e la disequazione da studiare per il dominio diventa

$(x+1)(x^2 -2x+2)>0$

il secondo termine è sempre positivo (verificalo!) e il primo è positivo per $x>(-1)$

Quindi il dominio è $x>(-1)$

Ora direi che i punti che hai trovato hanno senso!

La derivata dovrebbe essere se i conti son giusti

$y'=ln(x^3-x^2+2) (x(3x-2))/(x^3-x^2+2)$

che si annula in

$x_1=0$
$x_2=2/3$

ma attenzione anche nel punto $x_3$ in cui hai

$ln(x^3-x^2+2)=0$

che ottieni come ti scriveva sopra @Melia risolvendo la equazione

$x^3-x^2+2=1$

cioè

$x^3-x^2+1=0$

questa è difficile... consiglio un metodo di approssimazione, per esempio quello delle tangenti (o di Newton) e il risultato dovrebbe essere un $x_3$ compreso circa tra $-1$ e $-1/2$... se non lo sai fare guardiamo assieme questo metodo:

consideri la funzione

$f(x)=x^3-x^2+1$

che ha derivata

$f'(x)=3x^2-2x$

ne fai uno studio approssimativo in brutta e vedi che il suo zero più o meno è compreso tra -1 e -1/2 ... lo vedi... allora usi il metodo delle tangenti per trovarlo con maggiore precisione... il metodo dice che devi porre un punto $x_0$ vicino più possibile allo zero che devi trovare (per esempio qui poniamo $x_0=-1$) e poi devi iterare la seguente formula

$x_(n+1) = x_n - (f(x_n)/(f'(x_n)))$

detto in parole povere

$x_1 = x_0 - (f(x_0)/(f'(x_0)))$

fai il calcolo e ottieni $x_1= -0.8$ che è già più preciso di $x_0$

adesso andiamo avanti a iterare

$x_2 = x_1 - (f(x_1)/(f'(x_1)))$

fai il calcolo e ottieni $x_2= -0.756$

che è ancora più preciso di prima... e direi che ci siamo quasi... io mi fermerei anche qui... vedi tu se vuoi proseguire e ottenere un valore leggermente più preciso con un terzo o quanto procedimento iterativo... di solito con il metodo di Newton dopo 3-4 iterazioni hai un valore estremamente preciso... grande questo Newton eh? Quante cose si è inventato...

ciao!

[KatieP]

Grazie mille , risposta completissima !

[@melia]

Scusate, ragazzi, ma l'argomento del logaritmo non è $2-x^2-x^3$? Quindi il dominio è $x<1$.

[KatieP]

No, ho commesso io un errore nel trascrivere la funzione e l'ho precisato dopo. Grazie mille comunque !