Calcolo limiti

[francicko]

Ho provato a risolvere i seguenti limiti senza necessariamente usare Hopital o Taylor:
$lim_(x->0)(cosx-e^(x^2))/(sinx)^2=lim_(x->0)((1-x^2)^(1/2)-1+1-e^(x^2))/(x^2)=lim_(x->0)-x^2/(2x^2)+lim_(x->0)-(e^(x^2)-1)/x^2=-1/2-1=-3/2$,
e qui ho sostituito a $sinx$ , $x$ in quanto infinitesimi dello stesso ordine ho aggiunto e sottratto $1$ , e poi ho sfruttato il noto limite notevle $(e^f(x)-1)/f(x)=1$,
;
$lim_(x->0)(e^x-e^(-x))/sin(2x)=lim_(x->0)(e^x-(1/e^x))/(2x)=lim_(x->0)(e^(2x)-1)/(2x)1/(e^x)=1$, ed anche qui ho sfruttato il limite notevole come sopra.

andiamo ora al seguente limite $lim_(x->0) (e^x-e^(sinx))/(tanx-x)$ in questo caso sono impossibilitato a poter eseguire

una trasformazione che mi riconduca al limite notevole $(e^f(x)-1)/(f(x)$, pertanto devo necessariamente ricorrere o a Hopital o allo sviluppo di Taylor, non vedo altra via, mi sbaglio?
Se avessi avuto $lim_(x->0) (e^x-e^(sinx))/(sinx-x)$, in questo caso, allora si che avrei potuto applicare il limite notevole come sopra e concludere che il limite vale $-1$.
Resto in attesa di una risposta.
Saluti!$ (e^f(x)-1)/(f(x) $

[giammaria2]

Per il primo, il tuo $(1-x^2)^(1/2)$ è tutt'altro che immediato. Puoi comunque sfruttare le tue stessa idea scrivendo
$=lim_(x->0)(cosx-1+1-e^(x^2))/x^2=...$.
Sono d'accordo per il secondo ed anche per tutto quello che scrivi sul terzo.