Calcolo limiti
Salve! Sono alle prese con il seguente limite notevole per $x->0$, $(e^(x)-1)/x)$, non conoscendo ancora i logaritmi, ho cercato di dimostrarlo conoscendo che il limite notevole $lim(1+x)^(1/x)=e$ con il seguente modo: $lim(e^x-1)/x=(((1+x)^(1/x))^x-1)(1/x)=(1+x-1)/x=1$, dopodichè procedendo in maniera analoga ho cercato di calcolare , spero correttamente ,sempre per$x->0$ i seguenti limiti:
$lim(e^(x^2)-1)(1/x)=$
$((1+x^2)^(1/x^2))^(x^2)$ $-1)(1/x)$
$=(1+x^2-1)(1/x)=x^2/x=x=0$
ed
$(e^(x^(1/2))$ $-1)(1/x)$ $=$ $($ $((1+x^(1/2))^(x^(1/2))$ $-1)$ $(1/x)=x^(1/2)/x=1/(x^(1/2))=infty$
ed
$(e^(x^x)-1)(1/x)$ $=$ $((1+(x^x))^(1/(x^x)$ $)$ $^(x^x))-1)(1/x)$ $=x^x/x=infty$
essendo che per $x->0$ $limx^x=1$, inoltre ho osservato che abbiamo $lim ((e^t)^x-1)(1/x)=t$ comunque sia $t$ appartenente ad $R$.
Sperando di non aver scritto delle eresie, rimango in attesa di un parere!
$lim(e^(x^2)-1)(1/x)=$
$((1+x^2)^(1/x^2))^(x^2)$ $-1)(1/x)$
$=(1+x^2-1)(1/x)=x^2/x=x=0$
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$(e^(x^(1/2))$ $-1)(1/x)$ $=$ $($ $((1+x^(1/2))^(x^(1/2))$ $-1)$ $(1/x)=x^(1/2)/x=1/(x^(1/2))=infty$
ed
$(e^(x^x)-1)(1/x)$ $=$ $((1+(x^x))^(1/(x^x)$ $)$ $^(x^x))-1)(1/x)$ $=x^x/x=infty$
essendo che per $x->0$ $limx^x=1$, inoltre ho osservato che abbiamo $lim ((e^t)^x-1)(1/x)=t$ comunque sia $t$ appartenente ad $R$.
Sperando di non aver scritto delle eresie, rimango in attesa di un parere!
Risposte
In linea di massima non è lecito sostituire una grandezza con una funzione che tenda ad essa; quando però studierai gli infinitesimi scoprirai che il tuo discorso può essere giustificato scrivendo i calcoli in forma lievemente diversa ed aggiungendovi "a meno di infinitesimi di ordine superiore": per questo conduce al risultato corretto. Complimenti per la buona intuizione matematica.
Sono però sbagliati gli ultimi due limiti, che non sono forme indeterminate:
$lim_(x->0)(e^(1/x^2)-1)/x=(e^(+oo)-1)/0=oo$
$lim_(x->0)(e^(x^x)-1)/x=(e^1-1)/0=oo$
Il risultato è giusto, ma solo per caso.
Mi stupiscono poi due cose: se conosci gli esponenziali, come puoi non conoscere i logaritmi? E come fai a sapere che $lim_(x->0^+)x^x=1$?
.
P.S. : Digitando fra i segni del dollaro lim_(x->0) ottieni $lim_(x->0)$
Sono però sbagliati gli ultimi due limiti, che non sono forme indeterminate:
$lim_(x->0)(e^(1/x^2)-1)/x=(e^(+oo)-1)/0=oo$
$lim_(x->0)(e^(x^x)-1)/x=(e^1-1)/0=oo$
Il risultato è giusto, ma solo per caso.
Mi stupiscono poi due cose: se conosci gli esponenziali, come puoi non conoscere i logaritmi? E come fai a sapere che $lim_(x->0^+)x^x=1$?
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P.S. : Digitando fra i segni del dollaro lim_(x->0) ottieni $lim_(x->0)$
Ti ringrazio per i complimenti ma credo proprio che non siano giustificati!
Per quanto riguarda la funzione logaritmo ricordo solo, se non erro, che é l'inversa della funzione esponenziale, a scuola non li ho mai digeriti;
Il tipo di domande che ho postato nascono dalla curiosità che riesce a stimolare il libro di divulgazione matematica "Che cos'é la matematica?" di Richard Courant , al momento l'unico libro in mio possesso, un libro che é, fortunatamente lontano dagli eccessivi formalismi degli usuali testi scolastici.
Per quanto riguarda i limiti che ho postato, riguardo all'ultimo hai perfettamente ragione tu, non si tratta di una forma indeterminata , preso dalla foga, ho sbagliato,in questo caso l'unica forma indeterminata sta nel $lim_(x->0^+)$ $x^x$, cioé $0^0$ che conoscevo avendo letto i limiti di successioni, infatti $lim_(n->infty)$ $n^(1/n)=1$ e quindi anche $lim_(n->infty)$ $(1/n)^(1/n)=1/(n^(1/n)$ $=1$, ciò equivale ad $lim_(x->0)$ $x^x$.
Per quanto riguarda il penultimo però,esso é $lim(x->0)$ $ (e^(x^2)-1)/x$ e non $(e^(1/(x^2))-1)/x$, per cui risulta essere una forma indeterminata $0/0$, mi sbaglio?
Per quanto riguarda la funzione logaritmo ricordo solo, se non erro, che é l'inversa della funzione esponenziale, a scuola non li ho mai digeriti;
Il tipo di domande che ho postato nascono dalla curiosità che riesce a stimolare il libro di divulgazione matematica "Che cos'é la matematica?" di Richard Courant , al momento l'unico libro in mio possesso, un libro che é, fortunatamente lontano dagli eccessivi formalismi degli usuali testi scolastici.
Per quanto riguarda i limiti che ho postato, riguardo all'ultimo hai perfettamente ragione tu, non si tratta di una forma indeterminata , preso dalla foga, ho sbagliato,in questo caso l'unica forma indeterminata sta nel $lim_(x->0^+)$ $x^x$, cioé $0^0$ che conoscevo avendo letto i limiti di successioni, infatti $lim_(n->infty)$ $n^(1/n)=1$ e quindi anche $lim_(n->infty)$ $(1/n)^(1/n)=1/(n^(1/n)$ $=1$, ciò equivale ad $lim_(x->0)$ $x^x$.
Per quanto riguarda il penultimo però,esso é $lim(x->0)$ $ (e^(x^2)-1)/x$ e non $(e^(1/(x^2))-1)/x$, per cui risulta essere una forma indeterminata $0/0$, mi sbaglio?
Nel tuo primo post io leggo sia $ (e^(x^2)-1)/x$ che, poco dopo, $(e^(1/(x^2))-1)/x$. Hai ragione nel dire che il primo di questi due è una forma indeterminata.
Cerco di scriverlo in maniera più leggibile;
Il penultimo limite che ho postato é: $(e^(sqrt(x))-1)(1/x)$, che é una forma indeterminata $0/0$, mi sbaglio?
Il penultimo limite che ho postato é: $(e^(sqrt(x))-1)(1/x)$, che é una forma indeterminata $0/0$, mi sbaglio?
Non sbagli; avevo frainteso quello scritto.
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