Calcolo Limite polinomio trascendentale esponenziale

[Nicholas_ASR]

lim di x-> 0 $ ((e^(1/x))+2)/(1-(4e^(1/x))) $ Non capisco prima cosa come calcolare il limite e poi sopratutto perché se tende a zero da destra o da sinistra vengono due risultati differenti ç_ç

[@melia]

Dipende dal grafico della funzione esponenziale $f(x)=e^x$,
quando $x-> -oo$ la funzione tende a $0$ o se vuoi specificare a $0^+$
quando $x-> +oo$ la funzione tende a $+oo$

Guardiamo adesso il limite che hai postato:

quando $x->0^-$ ottieni $1/x ->-oo$ e, poiché l'esponente $-> -oo$, allora $e^(1/x) ->0$ per cui
$lim_(x-> 0^-) (e^(1/x)+2)/(1−4e^(1/x)) =(0+2)/(1-0)=2$

quando $x->0^+$ ottieni $1/x ->+oo$ e, poiché l'esponente $-> +oo$, allora $e^(1/x) ->+oo$ per cui
$lim_(x-> 0^+) (e^(1/x)+2)/(1−4e^(1/x) $ è una forma indeterminata $(oo)/(oo)$, per uscire dall'indeterminazione:

$lim_(x-> 0^+) (e^(1/x)+2)/(1−(4e^(1/x)) )=$ raccogli a fattor comune $e^(1/x)$

$=lim_(x-> 0^+) (e^(1/x)(1+2/e^(1/x)))/(e^(1/x)(1/e^(1/x)−4)) =$ semplifica il fattore raccolto

$=lim_(x-> 0^+) (1+2/e^(1/x))/(1/e^(1/x)−4) =$ ricordando che $lim_(x-> 0^+) 2/e^(1/x)=2/(+oo)=0$ ottieni

$=(1+0)/(0-4)= -1/4$

[Nicholas_ASR]

quando $x→0+$ ottieni $1/x→+∞$ e, poiché l'esponente $→+∞$, allora $e^(1/x)→+∞$ non ho ben capito questo passaggio.. io guardando il grafico dell'esponenziale so che se x tende a zero da destra la funzione va a meno infinito se invece tende a zero da sinistra va verso + infinito non ho proprio capito cosa intendi che ottengo $1/x→+∞$

[@melia]

Semplifico la scrittura mettendo il segno di $=$, anche se non sarebbe del tutto corretto,
$x =0^+$ quindi $1/x=1/(0^+)=+oo$ da cui $e^(1/x) = e^(+oo) = +oo$, va meglio così?

[Nicholas_ASR]

si ma perché se invece elevo e alla -infinito viene 0? sempre perché l'esponenziale non può essere negativo e quindi non posso mettere - infinito ma zero?

[@melia]

Guarda il grafico dell'esponenziale, ti pare che quando l'esponente tende a $-oo$ questo vada a $-oo$? Se, per caso la risposta fosse sì, allora non stai guardando il grafico di $e^x$, ma un'altra cosa.