Calcolo limite (37467)

[pikkola91]

Non riesco a calcolare questo limite..

lim

[math]\frac{x}{1 + x}{^-x}[/math]

[math]x->+oo[/math]

lim->+oo [(x/1 + x)]^(-x)

Se non si capisce è tutto elevato alla - x..
Grazie:)

[issima90]

hai sbagliato!puoi correggere?

[pikkola91]

Si ho corretto perchè non riuscivo a scriverlo.. si capisce??

[issima90]

moltiplichi per -x?

[pikkola91]

no elevato alla - x

[issima90]

[math]\lim_{x \to \infty} [\frac{x}{1 + x}]^{-x}[/math]

aggiungi e togli 1 nel numeratore della frazione:

[math]\lim_{x \to \infty} [\frac{x+1-1}{1 + x}]^{-x}[/math]

ora spezzi il num della frazione:

[math]\lim_{x \to \infty} [\frac{x+1}{1 + x}+\frac{1}{-x-1}]^{-x}[/math]

quindi semplificando:

[math]\lim_{x \to \infty} [1+\frac{1}{-1 - x}]^{-x}[/math]

ora aggiungi e togli 1 all'esponente

[math]\lim_{x \to \infty} [1+\frac{1}{-1 - x}]^{-x+1-1}[/math]

ora sai per una regola dei prodotti notevoli che la somma degli esponenti corrisponde al prodotto tra le basi
cioè

[math]a^x*a^y=a^{x+y}[/math]

qui usiamo l'inverso per spezzare gli esponenti:

[math]\lim_{x \to \infty}( [1+\frac{1}{-1 - x}]^{-x-1}*[1+\frac{1}{-1 - x}]^1)[/math]

ora sostituisci...il primo è nepero..il secondo è 1
il risultato dovrebbe essere e

[pikkola91]

Grazie mille!!è solo che non mi è molto chiara la risoluzione aggiungendo e togliendo 1 al numeratore.. non ci sono altri modi per risolverla??poi provo io.. Grazie mille ancora:)

[issima90]

guarda non so..
però aggiungendo e togliendo 1 non cambia niente...è come se sommassi 0 che non cambia niente o no?

[pikkola91]

sisi ho capito concettualmente..! ma poi ho un po di difficolta ad applicarlo agli esercizi anche xk la prof non cel ha mai fatto fare così.. Cmq grazie mille! :)

[jennyv]

ciao, scusate se mi intrometto nella discussione....
si potrebbbe risolvere l'esercizio moltiplicando e dividendo tutto per x?
e pi utilzzare il limite notevole (1+1/x)^x=e
io ho fatto così:
(x*x/x)/(x*(1/x+1)), utilizzando quel limite notevole che si usa quando x tende a infinito, ottengo 1/e^-1 e quindi "e "

[the.track]

Semplicemente notando che:

[math]\( \frac{a}{b}\)^{-c}=\(\frac{1}{ \frac{a}{b}}\)^c\\
\\
=\frac{1}{ \frac{a^c}{b^c}}\\
\\
=\frac{b^c}{a^c}=\(\frac{b}{a}\)^c[/math]

Applicando ciò abbiamo:

[math]\lim_{x\right \infty} \(\frac{x}{x+1}\)^{-x}=\\[/math]

[math]\lim_{x\right \infty} \(\frac{x+1}{x}\)^x=\\[/math]

Distribuisco la x:

[math]\lim_{x\right \infty} \(1+\frac{1}{x}\)^x=e[/math]

Si poteva fare così.

[pikkola91]

Grazie mille ho capito!!:)

[the.track]

Prego. :) Qui chiudo allora.