Calcolo limite
Devo calcolare $lim_(x->pi/2) ((2x-pi) cosx)/(x(1-sinx))$.
Devo usare un cambiamento di variabile.
Ho provato a ricondurmi al limite notevole $(sinx)/x$ tramite una variabile $y$, espressa in funzione di $x$, ma senza riuscirci. Non so se possa riuscire ad applicare altri limiti notevoli.
Vi scrivo i passaggi che sono riuscito a fare:
$((2x-pi)cosx)/(x(1-sinx)) = ((2x-pi)cosx(1+sinx))/(x(cos^2x)) = ((2x-pi)(1+sinx))/(x(cosx)) = (2x-pi)/cosx * (1+sinx)/x$.
Calcolando $lim_(x->pi/2) (1+sinx)/x$ ho trovato $4/pi$; se riuscissi a calcolarmi il limite dell'altro fattore potrei applicare il teorema del prodotto...
Devo usare un cambiamento di variabile.
Ho provato a ricondurmi al limite notevole $(sinx)/x$ tramite una variabile $y$, espressa in funzione di $x$, ma senza riuscirci. Non so se possa riuscire ad applicare altri limiti notevoli.
Vi scrivo i passaggi che sono riuscito a fare:
$((2x-pi)cosx)/(x(1-sinx)) = ((2x-pi)cosx(1+sinx))/(x(cos^2x)) = ((2x-pi)(1+sinx))/(x(cosx)) = (2x-pi)/cosx * (1+sinx)/x$.
Calcolando $lim_(x->pi/2) (1+sinx)/x$ ho trovato $4/pi$; se riuscissi a calcolarmi il limite dell'altro fattore potrei applicare il teorema del prodotto...
Risposte
Non vedo a cosa possa servire il cambiamento di variabile nella fase preliminare del limite.
$lim_(x->pi/2)[((2x-pi)*cos(x))/(x*(1-sen(x)))]=lim_(x->pi/2)[(2*(x-pi/2)*cos(x-pi/2+pi/2))/(x*(1-sen(x-pi/2+pi/2)))]=$
$cos(x-pi/2+pi/2)=-sen(x-pi/2)$
$sen(x-pi/2+pi/2)=cos(x-pi/2)$
$=lim_(x->pi/2)[-2*((x-pi/2)*sen(x-pi/2))/(x*(1-cos(x-pi/2)))]$
A questo punto divido sopra e sotto per l'infinitesimo $(x-pi/2)^2$
$=lim_(x->pi/2)[-2*((sen(x-pi/2))/(x-pi/2))/(x*((1-cos(x-pi/2))/(x-pi/2)^2))]=-2*1/(1/2*pi/2)=-8/pi$
$lim_(x->pi/2)[((2x-pi)*cos(x))/(x*(1-sen(x)))]=lim_(x->pi/2)[(2*(x-pi/2)*cos(x-pi/2+pi/2))/(x*(1-sen(x-pi/2+pi/2)))]=$
$cos(x-pi/2+pi/2)=-sen(x-pi/2)$
$sen(x-pi/2+pi/2)=cos(x-pi/2)$
$=lim_(x->pi/2)[-2*((x-pi/2)*sen(x-pi/2))/(x*(1-cos(x-pi/2)))]$
A questo punto divido sopra e sotto per l'infinitesimo $(x-pi/2)^2$
$=lim_(x->pi/2)[-2*((sen(x-pi/2))/(x-pi/2))/(x*((1-cos(x-pi/2))/(x-pi/2)^2))]=-2*1/(1/2*pi/2)=-8/pi$
Ciao Howard
Puoi usare de l’hopital per l’altro fattore
Puoi usare de l’hopital per l’altro fattore
Anch'io avrei usato Hospital sinceramente, però da quello che ho capito si è consolidata una certa avversione nei confronti di questo metodo, negli ambienti scolastici (e non solo).
"SirDanielFortesque":
Non vedo a cosa possa servire il cambiamento di variabile nella fase preliminare del limite.
Il cambio di variabile non è farina del mio sacco, è proprio il metodo che avrei dovuto usare per la risoluzione del limite.
Anche il tuo metodo comunque, viste le mie basi attuali, va benissimo!
"anto_zoolander":
Ciao Howard
Puoi usare de l’hopital per l’altro fattore
De l'Hopital non l'ho ancora studiato.
Beh allora bastava che sostituissi $t=x-pi/2$. Poi il limite lo devi valutare in $t->0$
è quello che ho provato a fare.
$t=x-pi/2 => x=t+pi/2$
$x$ tende a $pi/2$, quindi $t$ tende a $0$.
$lim_(t->0) (2t(-sint))/((t+pi/2)(1-cost))$. Da qui come posso procedere?
$t=x-pi/2 => x=t+pi/2$
$x$ tende a $pi/2$, quindi $t$ tende a $0$.
$lim_(t->0) (2t(-sint))/((t+pi/2)(1-cost))$. Da qui come posso procedere?
allo stesso modo di prima, cioè dividi sopra e sotto per $(x-pi/2)^2$, solo che in questo caso $x-pi/2$ lo hai chiamato $t$, quindi dividi sopra e sotto per $t^2$.
Perfetto, ora ci sono riuscito.
Come al solito, grazie mille!
Come al solito, grazie mille!
@ SirDanielFortesque
Wow come hai trovato quel metodo di risoluzione col raccoglimento di $2$ al numeratore e scambiare senx con $cos(x-pi/2$ e viceversa?
Wow come hai trovato quel metodo di risoluzione col raccoglimento di $2$ al numeratore e scambiare senx con $cos(x-pi/2$ e viceversa?
E' l'unico metodo. Se sostituisci in realtà stai facendo quello.
Ah ecco, tu hai pensato ala sostituzione ma esplicitando. Grazie per il chiarimento
Si... Ho preferito non usarla e fare tutti i passaggi.
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