Calcolo integrale indefinito

[Arizar]

Ciao ragazzi chi potrebbe darmi una mano con questo integrale?
non riesco proprio a risolverlo

[math]Integrale 1+5x^2 / 1+ x^2[/math]

grazie a chi risponderà (:

[Studente Anonimo]

Purtroppo se non scrivete in TeX non si capisce mica quello che dovete calcolare!!
In questo caso, a naso, credo che l'integrale in questione sia

[math]\int \frac{1+5x^2}{1+x^2}dx[/math]

(cliccando
su Cita puoi vedere come ho scritto l'integrale: non è difficile, basta imitare il codice). :)

In ogni modo, in questo caso si ha...

[math]\int \frac{1+5x^2}{1+x^2}dx = \int \left(\frac{5+5x^2}{1+x^2} - \frac{4}{1+x^2}\right)dx = 5\int dx - 4\int \frac{1}{1+x^2}dx = \dots\\[/math]

...a te concludere. ;)

[Arizar]

Grazie mille :)
ma riusciresti a spiegarmi il secondo e terzo passaggio??
non riesco proprio a capirli !

[Studente Anonimo]

Allora, il fatto è questo: dobbiamo calcolare un integrale di una funzione razionale
fratta e purtroppo tale frazione non è "semplice", insomma non si può risalire alla
propria primitiva in maniera elementare (ossia alla funzione che derivata porga
tale frazione). Allora, come si suol dire in gergo tecnico, dobbiamo scomporre tale
frazione algebrica in fratti semplici, ossia in frazioni che ci permettano di risalire
alle loro primitive in maniera elementare. Capito ciò, che è fondamentale, si
comincia ad osservare la frazione e ad interrogarsi su come fare a scomporla.
In questo caso, notando che...

[math]\frac{1 + 5x^2}{1 + x^2} = \frac{5 + 5x^2 - 4}{1 + x^2} = \frac{5 + 5x^2}{1 + x^2} - \frac{4}{1 + x^2} = 5\frac{1 + x^2}{1 + x^2} - 4\frac{1}{1 + x^2} = 5 - 4\frac{1}{1 + x^2}\\[/math]

...grazie alla linearità degli integrali è lecito scrivere...

[math]\int \frac{1 + 5x^2}{1 + x^2}dx = 5\int dx - 4\int \frac{1}{1 + x^2}dx\\[/math]

e quei due integrali li devi avere sicuramente in una tabella in cui sono raccolti i
cosiddetti "integrali elementari", quelli di riferimento. A te reperirli e concludere
l'esercizio. ;)