Calcolo dominio della funzione ((x-3)^(1/4)-(5-x)^(1/3))^(1/6)

[santaniello.simona]

Buongiorno a tutti,
riuscireste a risolvere con i passaggi il seguente calcolo di dominio di funzione:

((x-3)^(1/4)-(5-x)^(1/3))^(1/6)

Il risultato dovrebbe essere 4<=x=<5.

Grazie

[gio.cri]

Ciao Simona, il problema e' molto semplice. Partendo dalla relazione che hai allegato, sappiamo che tutto cio' che sta sotto la radice

[math] \sqrt[6]{...} [/math]

deve essere obbligatoriamente un valore positivo:

Quindi, possiamo risolvere il seguente sistema:

[math] 1) \sqrt[4]{x-3}-\sqrt[3]{5-x}\geq0 [/math]

[math] 2) x\geq3 [/math]

[math] 3) -5+x \leq 0 [/math]

Ricordiamo che quando si hanno radici diverse bisogna cercare di portarle con uno stesso indice per semplificarsi i calcoli, quindi, la prima relazione la possiamo riscrivere in questo modo:

[math] 1) (x-3)^{3/12} - (5-x)^{4/12} \geq 0 [/math]

Abbiamo solo cambiato il modo di scrivere la 1).

Poichè abbiamo la stessa radice, dalle regole delle disequazioni con radici possiamo scrivere un nuovo sistema:

[math] I) (x-3)\geq0 [/math]

[math] II) (5-x) \geq0 [/math]

[math] III) (x-3)\geq(5-x) [/math]

Questo sistema ci restituisce come soluzione

[math] 4\leq x \leq 5 [/math]

Questa soluzione la dobbiamo sostituita nel sistema di prima che riportiamo qui:

[math] 1)4\geq5 [/math]

[math] 2) x\geq3 [/math]

[math] 3) -5+x \leq 0 [/math]

Al posto di 1) abbiamo sostituito il risultato appena ottenuto. Quindi:

[math] 1)4\leq x \leq 5 [/math]

[math] 2) x\geq3 [/math]

[math] 3) x \leq 5 [/math]

Il risultato finale e' sempre :

[math] 4\leq x \leq 5 [/math]