Calcolo di una successione
Devo determinare $lim_(n->+oo) (3^n-5n)/(2^n - n^2)$.
Intanto mi accorgo subito che i termini $a_2$ e $a_4$ non esistono, in quanto per quei valori il denominatore sarebbe $0$.
Ho provato a calcolare il limite ragionando sul numeratore, ma già qui mi accorgo che questo si presenta nella forma indeterminata $+oo -oo$, e non saprei come eliminare l'indeterminatezza.
Noto che $3^n$ tende a $oo$ più rapidamente che $-5n$; stesso discorso per il denominatore: $2^n$ tende a $oo$ più rapidamente che $n^2$. Non so però se questo mi possa essere utile per bypassare l'indeterminatezza
Calcolando la successione per alcuni termini mi accorgo che è indeterminata. Come avrei potuto dedurre la stessa cosa, senza andare a tentativi?
Intanto mi accorgo subito che i termini $a_2$ e $a_4$ non esistono, in quanto per quei valori il denominatore sarebbe $0$.
Ho provato a calcolare il limite ragionando sul numeratore, ma già qui mi accorgo che questo si presenta nella forma indeterminata $+oo -oo$, e non saprei come eliminare l'indeterminatezza.
Noto che $3^n$ tende a $oo$ più rapidamente che $-5n$; stesso discorso per il denominatore: $2^n$ tende a $oo$ più rapidamente che $n^2$. Non so però se questo mi possa essere utile per bypassare l'indeterminatezza
Calcolando la successione per alcuni termini mi accorgo che è indeterminata. Come avrei potuto dedurre la stessa cosa, senza andare a tentativi?
Risposte
$(3/2)^n$
"HowardRoark":
Devo determinare $lim_(n->+oo) (3^n-5n)/(2^n - n^2)$.
Intanto mi accorgo subito che i termini $a_2$ e $a_4$ non esistono, in quanto per quei valori il denominatore sarebbe $0$.
Ho provato a calcolare il limite ragionando sul numeratore, ma già qui mi accorgo che questo si presenta nella forma indeterminata $+oo -oo$, e non saprei come eliminare l'indeterminatezza.
Noto che $3^n$ tende a $oo$ più rapidamente che $-5n$; stesso discorso per il denominatore: $2^n$ tende a $oo$ più rapidamente che $n^2$. Non so però se questo mi possa essere utile per bypassare l'indeterminatezza
Calcolando la successione per alcuni termini mi accorgo che è indeterminata. Come avrei potuto dedurre la stessa cosa, senza andare a tentativi?
Cosa intendi per indeterminata? Perché il limite esiste e fa $+oo$. Comunque formalmente, sebbene basti qualche considerazione sull'ordine di infinito come ha suggerito Alex, puoi banalmente raccogliere $3^n$ e $2^n$:
$lim_(n->+oo) (3^n(1-(5n)/(3^n)))/(2^n(1-n^2/2^n))$
Intanto ringrazio entrambi per le risposte.
Pensavo non esistesse il limite perché $a_1 = -2$, $a_3=-12$, $a_5=218/7$...
Calcolando questi primi tre termini, mi sembrava che non tendesse a nulla per $n->+oo$, ma ovviamente mi sbagliavo
Pensavo non esistesse il limite perché $a_1 = -2$, $a_3=-12$, $a_5=218/7$...
Calcolando questi primi tre termini, mi sembrava che non tendesse a nulla per $n->+oo$, ma ovviamente mi sbagliavo
"Obidream":
Cosa intendi per indeterminata? Perché il limite esiste e fa $+oo$. Comunque formalmente, sebbene basti qualche considerazione sull'ordine di infinito come ha suggerito Alex, puoi banalmente raccogliere $3^n$ e $2^n$:
$lim_(n->+oo) (3^n(1-(5n)/(3^n)))/(2^n(1-n^2/2^n))$
La considerazione sull'ordine di infinito però riesco a farla dopo aver raccolto come hai fatto tu. Perché la successione nella forma $(3^n -5n)/(2^n -n^2)$ si presenta indeterminata sia al numeratore che al denominatore ($+oo -oo$).
Correggo il mio intervento: forse avrei dovuto considerare fin dall'inizio solo gli infiniti di ordine superiore $(3/2)^n$, tralasciando gli altri termini della frazione. Così si deduce facilmente che il limite è $+oo$
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