Calcolo di una derivata
...in un punto generico.
$f(x)=xcosx$
Ho impostato il limite del rapporto incrementale e una volta sostituiti il generico punto $c$ e l'incremento $h$ alla funzione, non so come proseguire.
Grazie per l'aiuto.
$f(x)=xcosx$
Ho impostato il limite del rapporto incrementale e una volta sostituiti il generico punto $c$ e l'incremento $h$ alla funzione, non so come proseguire.
Grazie per l'aiuto.
Risposte
Fai vedere cosa hai fatto ...
$lim_(hto 0)((c+h)cos(c+h)-c*cos(c))/((h))$ , con h che tende a zero.
Come devo continuare?
Come devo continuare?
Almeno le moltiplicazioni ...
$ lim_(hto 0)(c*cos(c+h)+h*cos(c+h)-c*cos(c))/((h)) $
"axpgn":
Almeno le moltiplicazioni ...
Non mi sembra un modo di esprimersi consono ad un forum di qualità com'è sempre stato questo...
Se ti dà fastidio abbassarti a spiegare cose "ovvie", puoi anche esimerti dal farlo.
Dividi il limite nella somma di due limiti: un termine è quello con $h$ e l'altro con il resto ... nel secondo usa la formula di addizione del coseno ...
Io invece direi come axpgn + prostaferesi 
Perché complicarsi la vita? 
Ci provo domani a mente fresca.
Vi farò sapere...
Saluti.
Vi farò sapere...
Saluti.
Scusate non capisco perché bisogna scomodare il rapporto incrementale. Nn si può usare la formula di derivazione del prodotto trovando così la derivata prima e sostituendo poi $c$ al posto della $x$?
L'esercizio richiede questo procedimento.
Ma il metodo di Prostaferesi è necessario per la risoluzione del problema?
Ma il metodo di Prostaferesi è necessario per la risoluzione del problema?
No.
$ lim_(hto 0)(c*cos(c+h)+h*cos(c+h)-c*cos(c))/((h)) $
$lim_(h->0) (h*cos(c+h))/h + lim_(h->0) (c*cos(c+h)-c*cos(c))/h$
$lim_(h->0) cos(c+h) + lim_(h->0) (c*[cos(c+h)-cos(c)])/h$
$cos(c) + lim_(h->0) c*[cos(c)cos(h)-sin(c)sin(h)-cos(c)]/h$
$cos(c) + lim_(h->0) c*[cos(c)*1-cos(c)-sin(c)sin(h)]/h$
$cos(c) - c*sin(c)*lim_(h->0) sin(h)/h$
$cos(c) -c*sin(c)*1$
$cos(c) -c*sin(c)$
$ lim_(hto 0)(c*cos(c+h)+h*cos(c+h)-c*cos(c))/((h)) $
$lim_(h->0) (h*cos(c+h))/h + lim_(h->0) (c*cos(c+h)-c*cos(c))/h$
$lim_(h->0) cos(c+h) + lim_(h->0) (c*[cos(c+h)-cos(c)])/h$
$cos(c) + lim_(h->0) c*[cos(c)cos(h)-sin(c)sin(h)-cos(c)]/h$
$cos(c) + lim_(h->0) c*[cos(c)*1-cos(c)-sin(c)sin(h)]/h$
$cos(c) - c*sin(c)*lim_(h->0) sin(h)/h$
$cos(c) -c*sin(c)*1$
$cos(c) -c*sin(c)$
Prostaferesi non è indispensabile, ma ti evita molti calcoli.
Ho visto che axpgn ha postato la soluzione senza prostaferesi. Ti posto anche quella con la prostaferesi.
$lim_(hto 0)(c*cos(c+h)+h*cos(c+h)-c*cos(c))/((h)) = lim_(hto 0)(c*(cos(c+h)-cos(c))/h+cos(c+h)) =$
$=lim_(hto 0)(c*(-2sin(c+h/2)sin(h/2))/h+cos(c+h)) =$
$=lim_(hto 0)(-c*sin(c+h/2)*sin(h/2)/(h/2)+cos(c+h)) =$
$= -csinc+cosc$
Ho visto che axpgn ha postato la soluzione senza prostaferesi. Ti posto anche quella con la prostaferesi.
$lim_(hto 0)(c*cos(c+h)+h*cos(c+h)-c*cos(c))/((h)) = lim_(hto 0)(c*(cos(c+h)-cos(c))/h+cos(c+h)) =$
$=lim_(hto 0)(c*(-2sin(c+h/2)sin(h/2))/h+cos(c+h)) =$
$=lim_(hto 0)(-c*sin(c+h/2)*sin(h/2)/(h/2)+cos(c+h)) =$
$= -csinc+cosc$
Chiari entrambi i metodi utilizzati.
Grazie mille!
Grazie mille!
Molti calcoli? Molti i passaggi che ho scritto, per chiarezza ... altrimenti ...
$ lim_(hto 0)(c*cos(c+h)+h*cos(c+h)-c*cos(c))/((h)) =$
$= lim_(h->0) (h*cos(c+h))/h + lim_(h->0) c*[cos(c)cos(h)-sin(c)sin(h)-cos(c)]/h =$
$= cos(c) - c*sin(c)*lim_(h->0) sin(h)/h =$
$= cos(c) -c*sin(c)$
$ lim_(hto 0)(c*cos(c+h)+h*cos(c+h)-c*cos(c))/((h)) =$
$= lim_(h->0) (h*cos(c+h))/h + lim_(h->0) c*[cos(c)cos(h)-sin(c)sin(h)-cos(c)]/h =$
$= cos(c) - c*sin(c)*lim_(h->0) sin(h)/h =$
$= cos(c) -c*sin(c)$
Io ho scritto tutti i passaggi. Nella tua dimostrazione estesa c'è un errore: hai mandato al limite uno degli addendi, ma uno solo, e sai benissimo che in un limite non si può mandare al limite "quello che ci fa comodo", mantenendo il resto.
A questo punto $cos(c) + lim_(h->0) c*[cos(c)cos(h)-sin(c)sin(h)-cos(c)]/h$ si dovrebbe procedere così
$cos(c) + lim_(h->0) c*[cos(c)cos(h)-sin(c)sin(h)-cos(c)]/h=$
$=cos(c) +c*[ lim_(h->0) ((cosc*(cosh-1))/h) - lim_(h->0) sin(c)*sin(h)/h]=$
$=cos(c) -c*sinc + c*cosc(lim_(h->0) ((cosh-1))/h)$
l'ultimo limite, per chi lo conosce, è un limite notevole e vale 0.
Chi non lo ha trattato tra i limiti notevoli deve moltiplicare numeratore e denominatore per $cos(h)+1$ e trasformare $cos^2h-1$ in $-sin^2 h$
A questo punto $cos(c) + lim_(h->0) c*[cos(c)cos(h)-sin(c)sin(h)-cos(c)]/h$ si dovrebbe procedere così
$cos(c) + lim_(h->0) c*[cos(c)cos(h)-sin(c)sin(h)-cos(c)]/h=$
$=cos(c) +c*[ lim_(h->0) ((cosc*(cosh-1))/h) - lim_(h->0) sin(c)*sin(h)/h]=$
$=cos(c) -c*sinc + c*cosc(lim_(h->0) ((cosh-1))/h)$
l'ultimo limite, per chi lo conosce, è un limite notevole e vale 0.
Chi non lo ha trattato tra i limiti notevoli deve moltiplicare numeratore e denominatore per $cos(h)+1$ e trasformare $cos^2h-1$ in $-sin^2 h$
Ti va bene così ?
$ lim_(hto 0)(c*cos(c+h)+h*cos(c+h)-c*cos(c))/((h)) =$
$ = lim_(h->0) (h*cos(c+h))/h + lim_(h->0) c*[cos(c)cos(h)-sin(c)sin(h)-cos(c)]/h = $
$= lim_(h->0) (h*cos(c+h))/h + c*cosc(c)*lim_(h->0) (cos(h)-1)/h - c*sin(c)* lim_(h->0) sin(h)/h =$
$= cos(c) - c*sin(c)*lim_(h->0) sin(h)/h =$
$= cos(c) -c*sin(c)$
$ lim_(hto 0)(c*cos(c+h)+h*cos(c+h)-c*cos(c))/((h)) =$
$ = lim_(h->0) (h*cos(c+h))/h + lim_(h->0) c*[cos(c)cos(h)-sin(c)sin(h)-cos(c)]/h = $
$= lim_(h->0) (h*cos(c+h))/h + c*cosc(c)*lim_(h->0) (cos(h)-1)/h - c*sin(c)* lim_(h->0) sin(h)/h =$
$= cos(c) - c*sin(c)*lim_(h->0) sin(h)/h =$
$= cos(c) -c*sin(c)$
Certo che mi va bene, se leggi tutto il mio intervento noti che è quello che ti ho chiesto di fare. E comunque resto del parere che con la prostaferesi si fa prima, ma che non è l'unica strada buona.
Sinceramente non vedo questa grande differenza, io penso che il punto sia un altro: a malapena ricordano le formule di addizione, figurati quelle di prostaferesi ...
L'importante secondo me è sapere dell'esistenza di una certa formula X per fare una determinata cosa nella situazione Y, per tutto il resto esistono decine di formulari. Vero è che certe formule è bene saperle a memoria per comodità, ma non credo sia indispensabile farlo con tutte. (Io stesso non ricordavo la formula esatta di prostaferesi da applicare e sono dovuto ricorrere al formulario)
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