Calcolo di un limite (con limiti notevoli)

[StellaMartensitica]

Avrei questo limite da calcolare, ma non so come. Potreste aiutarmi? Il limite è
per x tendente a π/2 da sinistra
;la funzione
(1-cos(x))^tan(x)

dovrebbe dare 1/e ma non so il procedimento. Grazie.

[Berationalgetreal]

\[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} {\Big (1 - \cos(x) \Big)^{\tan(x)} } \]

Notando che:

\[ - \cos (x) = - \sin \left (\frac{\pi}{2} - x \right ) = \sin \left (x - \frac{\pi}{2} \right) \]

Si ha che, ponendo \(t = x - \frac{\pi}{2}, \ t \to 0^-\):

\[\lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} {\Big (1 - \cos(x) \Big)^{\tan(x)} } = \lim_{t \to 0^-} {\left [\Big(1 + \sin (t) \Big)^{\frac{1}{\sin (t)}} \right]^{- \sin \left(t + \frac{\pi}{2} \right)} } = e^{-1} \]

[seb1]

Anche, imponendo la sostituzione \(\cos{x}=-\frac{1}{t}\): \[\lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}(1-\cos{x})^{\tan{x}}=\lim_{t\to-\infty}\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^{-\sqrt{1-\frac{1}{t^2}}}=\frac{1}{e}\]

[StellaMartensitica]

Grazie mille.