Calcolo di un limite

[Nicholas_ASR]

Tramite la definizione di limite devo verificare se $lim_(x->2)x^2+2x = 8$
Ho provato ad impostare il sistema che viene dalla definizione di limite ma mi ritrovo così:
${x^2+2x<8+ε$
$ {x^2+2x>8-ε $
Quando provo a risolverlo mi vengono soluzioni molto strane non so se sto sbagliando qualcosa qualcuno può aiutarmi?

[minomic]

Ciao,
no è tutto corretto.
Sviluppando dovresti trovare
\[
\begin{cases}
-1-\sqrt{9+\varepsilon} < x < -1+\sqrt{9+\varepsilon} \\
x<-1-\sqrt{9-\varepsilon} \ \ \vee\ \ x > -1+\sqrt{9-\varepsilon}
\end{cases}
\] Disegnando il grafico trovi che la soluzione è
\[
-1-\sqrt{9+\varepsilon} < x < -1-\sqrt{9-\varepsilon} \ \ \ \vee \ \ -1+\sqrt{9-\varepsilon} < x < -1+\sqrt{9+\varepsilon}
\] che rappresentano rispettivamente un intorno di $-4$ e un intorno di $2$. Cosa puoi quindi concludere?

[Nicholas_ASR]

più che altro il primo intorno che è negativo non mi serve a niente, ma dato che il secondo è un intorno di due posso concludere che il limite è verificato.
Però il nostro professore vuole che troviamo una risposta del genere:
esiste un deltak>0 / x che appartiene all'intorno bucato di 2 è contenuto nelle soluzioni del sistema?

[minomic]

"Nicholas_ASR":più che altro il primo intorno che è negativo non mi serve a niente

Sì, per il tuo esercizio è vero. Però questo ti fa capire che quel limite sarebbe verificato anche per $x -> -4$.

[Nicholas_ASR]

Si ma non riesco ancora a capire come io debba prendere il delta epsilon in modo che l'intorno sia contenuto in quell'intervallo che rappresenta l'intorno di 2...

[minomic]

Dunque... la distanza tra $-1+sqrt(9-epsilon)$ e $2$ è uguale a $3-sqrt(9-epsilon)$. Analogamente la distanza tra $2$ e $-1+sqrt(9+epsilon)$ è $-3+sqrt(9+epsilon)$.
Direi che un valore di $delta$ potrebbe essere il minimo tra queste due quantità.

[Nicholas_ASR]

ho messo delta minore o uguale a $(1-sqrt(9-ε))-2$

[minomic]

No, così non va bene: quello è un numero negativo. Io ti avevo detto il minimo tra quelle due differenze, che erano entrambe positive.