Calcolo di un limite

Nicholas_ASR
$lim/(x->+∞)sqrtx(sqrt(x+1)-sqrt(x-1))$
Non riuscivo a scrivere le due radici cubiche.. cioè dentro la parentesi sono due radici cubiche... non riesco a risolverlo avevo pensato a un somma per differenza ma non mi viene molto bene..

Risposte
minomic
Il fatto che siano radici cubiche ti dovrebbe far pensare al prodotto notevole "differenza di cubi":
\[
A^3-B^3 = \left(A-B\right)\left(A^2+B^2+AB\right)
\] Quindi qui devi moltiplicare sopra e sotto per
\[
\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2} + \sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}+\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}
\]

Nicholas_ASR
Non ho capito devo sostituire qualcosa alle mie due radici? e le radici le interpreti come se fossero A e B? quindi sostituisco
alle radici $(A^3-B^3)/(A^2+B^2+AB)$ ??

minomic
Intendevo dire che devi fare
\[
\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}\right) \left(\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2} + \sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}+\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\right)}
{\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2} + \sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}+\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}}
\] che, per il prodotto notevole che ti dicevo prima, è uguale a
\[
\frac{\sqrt{x}\left(\cancel{x}+1-\cancel{x}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2} + \sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}+\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}}
\] e a questo punto puoi concludere "a occhio" che il numeratore va come $x^(1/2)$ mentre il denominatore come $x^(2/3)$. Quindi, dato che $2/3 > 1/2$, il limite vale $0$.

Se non vuoi concludere "a occhio" allora puoi probabilmente passare tutto in \(\large\sqrt[6]{\cdots}\) e arrivare alla stessa conclusione.

Nicholas_ASR
è la stessa cosa che dicevo io se provi a sostituire come ho detto io ti viene identico
potresti farmi vedere come si passa alla radice 6?

minomic
Bene, allora meglio così.

Per la radice sesta:
\[
\Large
\sqrt[3]{\star} = \sqrt[6]{\star^2}
\]

Nicholas_ASR
Ma perché dovrei passare alla radice sesta? non hanno già tutte lo stesso indice le radici al denominatore?

minomic
"Nicholas_ASR":
Ma perché dovrei passare alla radice sesta? non hanno già tutte lo stesso indice le radici al denominatore?

Ma quella al numeratore no... e a noi interessa confrontare l'andamento del numeratore e del denominatore. Diciamo che il primo metodo che proponevo era quello più immediato.

Nicholas_ASR
Non ti sto seguendo io ho una radice quadrata al numeratore e delle cubiche al denominatore.. dovrei passare quella al numeratore alla radice sesta?

minomic
No le dovresti passare tutte, così le puoi confrontare in maniera più agevole. Praticamente ottieni
\[
\frac{2\sqrt[6]{x^3}}{\sqrt[6]{\left(x+1\right)^4} + \sqrt[6]{\left(x-1\right)^4} + \sqrt[6]{\left(x^2-1\right)^2}} =
\] \[
= \frac{2\sqrt[6]{x^3}}{\sqrt[6]{x^4+\cdots} + \sqrt[6]{x^4+\cdots} + \sqrt[6]{x^4+\cdots}}
\] A questo punto in ognuna delle radici al denominatore puoi raccogliere e portare fuori un $x^4$. Tutti i termini che ho indicato con i puntini tenderanno a $0$ e puoi finalmente semplificare con la radice al numeratore e concludere.

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