Calcolo di un limite
$lim/(x->+∞)sqrtx(sqrt(x+1)-sqrt(x-1))$
Non riuscivo a scrivere le due radici cubiche.. cioè dentro la parentesi sono due radici cubiche... non riesco a risolverlo avevo pensato a un somma per differenza ma non mi viene molto bene..
Non riuscivo a scrivere le due radici cubiche.. cioè dentro la parentesi sono due radici cubiche... non riesco a risolverlo avevo pensato a un somma per differenza ma non mi viene molto bene..
Risposte
Il fatto che siano radici cubiche ti dovrebbe far pensare al prodotto notevole "differenza di cubi":
\[
A^3-B^3 = \left(A-B\right)\left(A^2+B^2+AB\right)
\] Quindi qui devi moltiplicare sopra e sotto per
\[
\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2} + \sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}+\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}
\]
\[
A^3-B^3 = \left(A-B\right)\left(A^2+B^2+AB\right)
\] Quindi qui devi moltiplicare sopra e sotto per
\[
\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2} + \sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}+\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}
\]
Non ho capito devo sostituire qualcosa alle mie due radici? e le radici le interpreti come se fossero A e B? quindi sostituisco
alle radici $(A^3-B^3)/(A^2+B^2+AB)$ ??
alle radici $(A^3-B^3)/(A^2+B^2+AB)$ ??
Intendevo dire che devi fare
\[
\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}\right) \left(\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2} + \sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}+\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\right)}
{\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2} + \sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}+\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}}
\] che, per il prodotto notevole che ti dicevo prima, è uguale a
\[
\frac{\sqrt{x}\left(\cancel{x}+1-\cancel{x}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2} + \sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}+\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}}
\] e a questo punto puoi concludere "a occhio" che il numeratore va come $x^(1/2)$ mentre il denominatore come $x^(2/3)$. Quindi, dato che $2/3 > 1/2$, il limite vale $0$.
Se non vuoi concludere "a occhio" allora puoi probabilmente passare tutto in \(\large\sqrt[6]{\cdots}\) e arrivare alla stessa conclusione.
\[
\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x-1}\right) \left(\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2} + \sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}+\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\right)}
{\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2} + \sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}+\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}}
\] che, per il prodotto notevole che ti dicevo prima, è uguale a
\[
\frac{\sqrt{x}\left(\cancel{x}+1-\cancel{x}+1\right)}{\sqrt[3]{\left(x+1\right)^2} + \sqrt[3]{\left(x-1\right)^2}+\sqrt[3]{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}}
\] e a questo punto puoi concludere "a occhio" che il numeratore va come $x^(1/2)$ mentre il denominatore come $x^(2/3)$. Quindi, dato che $2/3 > 1/2$, il limite vale $0$.
Se non vuoi concludere "a occhio" allora puoi probabilmente passare tutto in \(\large\sqrt[6]{\cdots}\) e arrivare alla stessa conclusione.
è la stessa cosa che dicevo io se provi a sostituire come ho detto io ti viene identico
potresti farmi vedere come si passa alla radice 6?
potresti farmi vedere come si passa alla radice 6?
Bene, allora meglio così.
Per la radice sesta:
\[
\Large
\sqrt[3]{\star} = \sqrt[6]{\star^2}
\]
Per la radice sesta:
\[
\Large
\sqrt[3]{\star} = \sqrt[6]{\star^2}
\]
Ma perché dovrei passare alla radice sesta? non hanno già tutte lo stesso indice le radici al denominatore?
"Nicholas_ASR":
Ma perché dovrei passare alla radice sesta? non hanno già tutte lo stesso indice le radici al denominatore?
Ma quella al numeratore no... e a noi interessa confrontare l'andamento del numeratore e del denominatore. Diciamo che il primo metodo che proponevo era quello più immediato.
Non ti sto seguendo io ho una radice quadrata al numeratore e delle cubiche al denominatore.. dovrei passare quella al numeratore alla radice sesta?
No le dovresti passare tutte, così le puoi confrontare in maniera più agevole. Praticamente ottieni
\[
\frac{2\sqrt[6]{x^3}}{\sqrt[6]{\left(x+1\right)^4} + \sqrt[6]{\left(x-1\right)^4} + \sqrt[6]{\left(x^2-1\right)^2}} =
\] \[
= \frac{2\sqrt[6]{x^3}}{\sqrt[6]{x^4+\cdots} + \sqrt[6]{x^4+\cdots} + \sqrt[6]{x^4+\cdots}}
\] A questo punto in ognuna delle radici al denominatore puoi raccogliere e portare fuori un $x^4$. Tutti i termini che ho indicato con i puntini tenderanno a $0$ e puoi finalmente semplificare con la radice al numeratore e concludere.
\[
\frac{2\sqrt[6]{x^3}}{\sqrt[6]{\left(x+1\right)^4} + \sqrt[6]{\left(x-1\right)^4} + \sqrt[6]{\left(x^2-1\right)^2}} =
\] \[
= \frac{2\sqrt[6]{x^3}}{\sqrt[6]{x^4+\cdots} + \sqrt[6]{x^4+\cdots} + \sqrt[6]{x^4+\cdots}}
\] A questo punto in ognuna delle radici al denominatore puoi raccogliere e portare fuori un $x^4$. Tutti i termini che ho indicato con i puntini tenderanno a $0$ e puoi finalmente semplificare con la radice al numeratore e concludere.
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