Calcolo di un limite
Ciao! Risolvendo un problema sono arrivato a calcolare un limite. Eccolo: $ lim $ per x->+oo di $ (2x)/(2+x+√4+x^2) $
$ 4+x^2 $ è tutto dentro la radice. Se sostituisco arrivo alla forma indeterminata $ oo/oo $
$ 4+x^2 $ è tutto dentro la radice. Se sostituisco arrivo alla forma indeterminata $ oo/oo $
Risposte
Cominciamo con la scrittura: la formula da te desiderata, cioè
$lim_(x->+oo)(2x)/(2+x+sqrt(4+x^2))$
si ottiene digitando lim_(x->+oo)(2x)/(2+x+sqrt(4+x^2))
A denominatore devi metter in evidenza $x$, ricordando che per portarlo sotto radice devi elevarlo al quadrato:
$=lim_(x->+oo)(2x)/(x(2/x+1+sqrt(4/x^2+1)))$
$lim_(x->+oo)(2x)/(2+x+sqrt(4+x^2))$
si ottiene digitando lim_(x->+oo)(2x)/(2+x+sqrt(4+x^2))
A denominatore devi metter in evidenza $x$, ricordando che per portarlo sotto radice devi elevarlo al quadrato:
$=lim_(x->+oo)(2x)/(x(2/x+1+sqrt(4/x^2+1)))$
"matnice":
Ciao! Risolvendo un problema sono arrivato a calcolare un limite. Eccolo: $ lim $ per x->+oo di $ (2x)/(2+x+√4+x^2) $
$ 4+x^2 $ è tutto dentro la radice. Se sostituisco arrivo alla forma indeterminata $ oo/oo $
Qualche passaggio:
$lim_(x->+oo)(2x)/(2+x+sqrt(4+x^2))$
$lim_(x->+oo)(2x)/(2+x+sqrt(x^2(4/x^2+1))$
$lim_(x->+oo)(2x)/(2+x+|x|sqrt(4/x^2+1)$. Più semplice?
Si si, grazie mille, ho risolto 
scusate ho un dubbio stupido stupido
il limite che tende a 0 di
$ (log_2(1+4x))/(2^(2x)-1) $
quanto esce?
a me esce $ 1/ln(2) $
sul libro invece $ 2/(ln^2(2)) $
è lo stesso risultato?
no perchè divido e moltiplico per 4x e applico i limiti notevoli
EDIT forse ho capito applica un procedimento diverso ed esce quel risultato, ma poi dividendo tutto per 2 arrivo alla mia forma
EDIT2 dubbi su questo limite che tende a 0 di
$ (1-5^x)/(1-3^x) $
a me esce $ln(3)/ln(5)$ sul libro $log_3(5)$ perchè?
il limite che tende a 0 di
$ (log_2(1+4x))/(2^(2x)-1) $
quanto esce?
a me esce $ 1/ln(2) $
sul libro invece $ 2/(ln^2(2)) $
è lo stesso risultato?
no perchè divido e moltiplico per 4x e applico i limiti notevoli
EDIT forse ho capito applica un procedimento diverso ed esce quel risultato, ma poi dividendo tutto per 2 arrivo alla mia forma
EDIT2 dubbi su questo limite che tende a 0 di
$ (1-5^x)/(1-3^x) $
a me esce $ln(3)/ln(5)$ sul libro $log_3(5)$ perchè?
"hero_94":
scusate ho un dubbio stupido stupido
il limite che tende a 0 di
$ (log_2(1+4x))/(2^(2x)-1) $
quanto esce?
a me esce $ 1/ln(2) $
sul libro invece $ 2/(ln^2(2)) $
è lo stesso risultato?
no perchè divido e moltiplico per 4x e applico i limiti notevoli
EDIT forse ho capito applica un procedimento diverso ed esce quel risultato, ma poi dividendo tutto per 2 arrivo alla mia forma
EDIT2 dubbi su questo limite che tende a 0 di
$ (1-5^x)/(1-3^x) $
a me esce $ln(3)/ln(5)$ sul libro $log_3(5)$ perchè?
Per il primo prova:
$lim_(x->0)(log_2(1+4x))/(2^(2x)-1)$
$lim_(x->0)(log_2(1+4x))/(4x)*(2x)/(2^(2x)-1)*(4x)/(2x)$
"hero_94":
scusate ho un dubbio stupido stupido
il limite che tende a 0 di
$ (log_2(1+4x))/(2^(2x)-1) $
quanto esce?
a me esce $ 1/ln(2) $
sul libro invece $ 2/(ln^2(2)) $
è lo stesso risultato?
no perchè divido e moltiplico per 4x e applico i limiti notevoli
EDIT forse ho capito applica un procedimento diverso ed esce quel risultato, ma poi dividendo tutto per 2 arrivo alla mia forma
EDIT2 dubbi su questo limite che tende a 0 di
$ (1-5^x)/(1-3^x) $
a me esce $ln(3)/ln(5)$ sul libro $log_3(5)$ perchè?
Per il secondo:
$ln(5)/ln(3)$ deve uscire.
Confermo che il risultato del secondo è $ln5/ln3$ ed aggiungo che per la formula del cambiamento di base può essere scritto come $log_3 5$.
"anonymous_c5d2a1":
Per il primo prova:
$lim_(x->0)(log_2(1+4x))/(2^(2x)-1)$
$lim_(x->0)(log_2(1+4x))/(4x)*(2x)/(2^(2x)-1)*(4x)/(2x)$
ok ho capito dove ho sbagliato
ma esce $2/ln2$ non c'è il quadrato al ln
si ho sbagliando scrivendo qui, mi è uscita giusta la seconda, chiaro il cambiamento di base (manco l'avevo considerata)
ok ve ne propongo altri che mi stanno facendo venire un grattacapo tremendo
$lim_(x->2^-)(e^(x-2)-1)/(1-cos(x-2)) [-oo]$
$lim_(x->0)(1-2/7x)^(1/x) [e^(-2/7)]$
$lim_(x->1)(e^x-e)/((1+(1-x))^(1/2)-1) [-2e]$
nelle parentesi quadre la soluzione
devo cercare in qualche modo di ricondurmi ai notevoli ma non riesco
grazie per la pazienza
$lim_(x->2^-)(e^(x-2)-1)/(1-cos(x-2)) [-oo]$
$lim_(x->0)(1-2/7x)^(1/x) [e^(-2/7)]$
$lim_(x->1)(e^x-e)/((1+(1-x))^(1/2)-1) [-2e]$
nelle parentesi quadre la soluzione
devo cercare in qualche modo di ricondurmi ai notevoli ma non riesco
grazie per la pazienza
Sarò di poche parole:
ma era meglio se stavo zitta, visto che ho invertito due simboli, come mi hanno fatto notare nel post successivi.
ma era meglio se stavo zitta, visto che ho invertito due simboli, come mi hanno fatto notare nel post successivi.
$lim_(x->2^-)(e^(x-2)-1)/(1-cos(x-2)) =$ posto $x-2=t$ per $x->2^-$ hai $t->0^-$, l'esercizio diventa
$lim_(t->0^-)(e^t-1)/(1-cost) =$, qui metti in evidenza i limiti notevoli
$=lim_(t->0^-)(e^t-1)/t*t^2/(1-cost)*1/t = 1*2*(-oo) = -oo$
$lim_(x->0)(1-2/7x)^(1/x)$
anche in questo esercizio il cambio ti variabile ti semplifica la vita, posto $-2/7x=1/y$ ottieni $x= -7/(2y)$ e per $x->0$ hai $y->oo$, sostituendo ottieni
$lim_(y->oo)(1+1/y)^(-(2y)/7)=lim_(y->oo)((1+1/y)^y)^(-2/7)= e^(-2/7)$
per il terzo prova da solo, ti consiglio la sostituzione $x-1=t$
$lim_(t->0^-)(e^t-1)/(1-cost) =$, qui metti in evidenza i limiti notevoli
$=lim_(t->0^-)(e^t-1)/t*t^2/(1-cost)*1/t = 1*2*(-oo) = -oo$
$lim_(x->0)(1-2/7x)^(1/x)$
anche in questo esercizio il cambio ti variabile ti semplifica la vita, posto $-2/7x=1/y$ ottieni $x= -7/(2y)$ e per $x->0$ hai $y->oo$, sostituendo ottieni
$lim_(y->oo)(1+1/y)^(-(2y)/7)=lim_(y->oo)((1+1/y)^y)^(-2/7)= e^(-2/7)$
per il terzo prova da solo, ti consiglio la sostituzione $x-1=t$
"@melia":
Sarò di poche parole:
$ 2/(ln^2(2)) = 2/(2ln 2)= 1/(ln 2)$
Non sono d'accordo su questo:
$2/(ln^2(2))!=2/(2ln2)$
$2/(ln2^2)=2/(2ln2)$
Hai ragione, leggendo i simboli spesso mi succede di invertire e ho scambiato $ ln 2^2$ con $ ln^2 2$
Avevo capito, stia tranquilla.
scusate se vi rispondo ora
è tutto molto più chiaro, devo allenarmi con la sostituzione, grazie
è tutto molto più chiaro, devo allenarmi con la sostituzione, grazie
ciao ragazzi, scusate il disturbo
ho questo limite
$lim_(x->oo)(1+(x-3)/(9-x^2))^x$
sono arrivato qui
$lim_(x->oo)(1+1/(x+3))^x$
devo usare il famoso limite notevole, solo che non so come aggiungere il +3 all'esponente x, magari qualcuno mi illumina su questa stupidaggine
grazie in anticipo
ho questo limite
$lim_(x->oo)(1+(x-3)/(9-x^2))^x$
sono arrivato qui
$lim_(x->oo)(1+1/(x+3))^x$
devo usare il famoso limite notevole, solo che non so come aggiungere il +3 all'esponente x, magari qualcuno mi illumina su questa stupidaggine
grazie in anticipo
Ciao, per prima cosa attenzione ai segni: se vuoi semplificare devi introdurre un segno meno perché $$x-3 = -(3-x)$$ Hai quindi $$\left(1-\frac{1}{x+3}\right)^x = \left(1-\frac{1}{x+3}\right)^{x+3-3}$$ E ora puoi spezzare l'esponente $$\left(1-\frac{1}{x+3}\right)^{x+3}\left(1-\frac{1}{x+3}\right)^{-3}$$ Quando passi al limite hai $$e^{-1}\cdot 1 = e^{-1}$$
chiaro lo svolgimento (bastava solo addizionare e sottrarre all'esponente? puff come sto messo), ma non sono convinto del risultato
il primo limite è uguale a $e$ non a $e^(-1)$ che è quello notevole
oppure ho cannato?
il primo limite è uguale a $e$ non a $e^(-1)$ che è quello notevole
oppure ho cannato?
Il limite a cui ti riferisci è $$\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$$ e questo è giusto. Però se al posto del più ci metti il meno hai $$\lim_{x\to \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x = e^{-1}$$ In generale si ha $$\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^x = e^k$$
ho capito grazie
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