Calcolo di alcuni limiti di successioni
Ciao. Ho due particolari limiti di successioni che non riesco a risolvere. Potreste gentilmente darmi una mano?
A) $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^n+3^n}$
Questo limite, così a naso, sembrerebbe tendere a $\infty$ perché il numeratore ha grado maggiore del denominatore, eppure non è così... Quindi ho tentato di scomporlo o di prendere in considerazione i logaritmi per non avere gli esponenti, ma niente... Voi come risolvereste?
B) $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
Anche questo limite per me è di difficile risoluzione... con forma indeterminata del tipo $\infty - \infty$.
Grazie!
A) $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1}+3^{n+1}}{2^n+3^n}$
Questo limite, così a naso, sembrerebbe tendere a $\infty$ perché il numeratore ha grado maggiore del denominatore, eppure non è così... Quindi ho tentato di scomporlo o di prendere in considerazione i logaritmi per non avere gli esponenti, ma niente... Voi come risolvereste?
B) $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
Anche questo limite per me è di difficile risoluzione... con forma indeterminata del tipo $\infty - \infty$.
Grazie!
Risposte
Per il B), prova a moltiplicare e dividere per $\sqrt{n+1}+sqrt{n}$: $\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \lim_{n \rightarrow \infty} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) * \frac{\sqrt{n+1}+sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{n+1}+sqrt{n}}$
Grazie Chiara! Quindi la successione B tende a 0. Ci vuole molto intuito e un'ottima preparazione matematica per utilizzare questi trucchetti. Esiste un modo generico per risolvere i limiti oppure devo andare a tentativi finché non riesco a trasformarli in una forma determinata? Per quanto riguarda la successione A, invece?
$(2^(n+1)+3^(n+1))/(2^n+3^n)=(2*(2/3)^n+3)/((2/3)^n+1)$ e $lim_(n\rightarrow +\infty)(2/3)^n=0$ quindi quel limite fa....
Grazie mille anche a te Simone! Quindi la successione, in questo caso, tende a $3$. Nonostante sia corretta, non ho ben capito cosa hai fatto. Potresti spiegarmi meglio? Hai raccolto $3^n$ sia al numeratore che al denominatore? E poi?
"SyncZ":
Grazie mille anche a te Simone! Quindi la successione, in questo caso, tende a $\frac{2}{3}$.
Fai attenzione perché il risultato corretto non è $2/3$
"SyncZ":
Nonostante sia corretta, non ho ben capito cosa hai fatto. Potresti spiegarmi meglio? Hai raccolto $3^n$ sia al numeratore che al denominatore? E poi?
Bisogna raccogliere sia a numeratore che a denominatore $3^n$, poi lo semplifichi, sai che $(2/3)^n$ tende a 0, quindi a numeratore rimane ..., mentre a denominatore rimane ...
Senza pensarci troppo avevo considerato $(\frac{2}{3})^n$ tendente a infinito. Invece, poiché il denominatore della frazione cresce più velocemente del numeratore, tende a zero. Quindi, complessivamente il limite tende a $3$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo