Calcolo delle probabilità

[pierino95]

Un'urna contiene sei palline numerate da 1 a 6. Si estraggono successivamente dall'urna tre palline, senza rimetterle, a ogni estrazione, la pallina precedentemente estratta nell'urna. Considera i tre eventi:
A: è uscita la pallina con il numero 2 nella prima estrazione
B: è uscita la pallina con il numero 3 nella seconda estrazione
C: non è uscita la pallina con il numero 4 in nessuna estrazione.
a. Calcola la probabilità degli eventi A,B,C
b. Calcola la probabilità degli eventi A intersecato B, B intersecato C, e A intersecato C
c. Calcola la probabilità degli eventi AUB, BUC e AUC
Risposte
a. 1/6, 1/6, 1/2
b. 1/30, 1/10, 1/10
c. 3/10. 17/30,17/30
P(A) =1/6, P(B)= 1/5, P(c) =5/6*4/5*3/4=1/2
P(A intersecato B) = 1/6*1/5=1/30
P(B intersecato C)= 1/5 *1/2=1/10
P(A intersecato C)=?
P(AUB)=?
P(BUC)=?
P(AUC)=?
potete aiutarmi a risolvere quelli con il punto di domanda? Grazie

[apatriarca]

a. Come scritto nella soluzione, la probabilità \(P(B)\) è uguale a \(1/6\) e non \(1/5\). Immagino la tua soluzione abbia considerado solo la seconda estrazione, ma devi considerarle entrambe. Devi insomma calcolare la probabilità che la prima estrazione non fosse \(3\) e moltiplicarla per la probabilità che tra le cinque palline rimaste sia stato estratto \(3\). Questa è quindi uguale a \(5/6 \times 1/5 = 1/6\). Le altre soluzioni sono corrette.

b. I primi due punti sono corretti, ma credo che sia solo un caso. Ho l'impressione che tu abbia soltanto moltiplicato le due probabilità ottenute in precedenza e questo è valido solo nel caso in cui i due eventi fossero indipendenti. I tuoi eventi non sono tra loro indipendenti e quindi devi usare la formula con la probabilità condizionata o usare la definizione degli eventi.

I primi due numeri hanno senso perché \(P(B \mid A) = 1/5\) e quindi
\[ P(A \cap B) = P(B \mid A)\,P(A) = 1/5 \times 1/6 = 1/30. \]
Potevi anche usare la definizione e quindi moltiplicare la probabilità di scegliere \(2\) e poi \(3\) e i numeri continuano ad essere gli stessi.

Per \(P(B \cap C\) hai che \(P(B \mid C)\) è uguale alla probabilità che il primo numero fosse diverso da \(3\) (sapendo che non è \(4\)) e che quello successivo fosse \(3\) (sapendo che non è \(4\)). Hai quindi \(4/5 \times 1/4 = 1/5\) come hai scritto, ma probabilmente per la ragione sbagliata. Puoi anche calcolarla usando la probabilità condizionata \(P(C \mid B)\) che è uguale alla probabilità che la prima e terza estrazione non fossero \(4\) (sapendo che non erano neanche \(3\)). Hai quindi \(4/5 \times 3/4 = 3/5\). A quel punto hai che \(P(B \cap C\) = 3/5 \times 1/6 = 1/10\). L'ultimo metodo sarebbe di calcolare le probabilità che la prima estrazione non sia \(3\) e \(4\), che la seconda sia \(3\) e che la terza non sia \(4\). Per cui viene \(4/6 \times 1/5 \times 3/4 = 1/10\).

Per \(P(A \cap C)\) puoi usare l'ultimo metodo precedente e ottenenere \(1/6 \times 4/5 \times 3/4 = 1/10\). Oppure calcolare le probabilità condizionate ma alla fin fine ottieni calcoli simili.

c. L'unione è facile una volta che hai l'intersezione. Hai infatti che \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). Hai quindi che
\[
\begin{align*}
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{30} = \frac{3}{10} \\
P(B \cup C) = P(B) + P(C) - P(B \cap C) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{17}{30} \\
P(A \cup C) = P(A) + P(C) - P(A \cap C) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{17}{30}
\end{align*}
\]

[pierino95]

Grazie