Calcolo dell'area della regione di piano con integrale!
Salve a tutti, mi serve di capire quest'esercizio per un compito di matematica che ho domani:
quanto vale l'area della regione di piano delimitata da $y=|x-1|$; $y=0$ e $x=0$?
a quanto ho capito dovrei fare la differenza delle due funzioni in un integrale, e trovarne la primitiva calcolandola poi agli estremi dell'integrale, il risultato dell'esercizio è 1/2.
grazie tante a chi me lo spiegherà
quanto vale l'area della regione di piano delimitata da $y=|x-1|$; $y=0$ e $x=0$?
a quanto ho capito dovrei fare la differenza delle due funzioni in un integrale, e trovarne la primitiva calcolandola poi agli estremi dell'integrale, il risultato dell'esercizio è 1/2.
grazie tante a chi me lo spiegherà
Risposte
Non so se devi per forza usare gli integrali, ma quello che hai proposto è un banale triangolo di vertici $(0,0)$, $(1,0)$ e $(0,1)$, la cui area si vede immediatamente essere $1/2$
non saprei, però come faccio nel caso avessi $y=e^x$; $y=3$; $x=0$? il risultato da esercizio è $3log3-2$
Nel precedente esercizio non capivo che calcoli volevi fare perché lì dovevi togliere 0, adesso ho capito.
Traccia il grafico della tua funzione. Cercando le intersezioni con le rette $x=0$ e $y=3$, trovi i punti $(0, 1)$ e $(ln3, 3)$.
Se calcoli l'integrale tra 0 e $ln3$ della tua funzione trovi, però, l'area della regione che sta tra la funzione e l'asse x, nell'intervallo $[0, ln3]$, mentre tu cerchi l'area della regione che sta sopra la funzione fino alla retta y=3, quindi devi integrare, sempre nello stesso intervallo, la differenza tra la retta che sta sopra e la funzione che sta sotto:
$A=int_0^(ln3)(3-e^x) dx$
Traccia il grafico della tua funzione. Cercando le intersezioni con le rette $x=0$ e $y=3$, trovi i punti $(0, 1)$ e $(ln3, 3)$.
Se calcoli l'integrale tra 0 e $ln3$ della tua funzione trovi, però, l'area della regione che sta tra la funzione e l'asse x, nell'intervallo $[0, ln3]$, mentre tu cerchi l'area della regione che sta sopra la funzione fino alla retta y=3, quindi devi integrare, sempre nello stesso intervallo, la differenza tra la retta che sta sopra e la funzione che sta sotto:
$A=int_0^(ln3)(3-e^x) dx$
come faccio analiticamente a trovare i punti di intersezione (0,1) e (ln3,3)? graficamente ho capito....
poi il mio problema a questo punto è riuscire a capire come hai fatto a determinare l'intervallo di integrazione...
Sono partita dal testo che ciedeva l'area della regione compresa tra $y=e^x$; $y=3$; $x=0$. Ho intersecato la funzione con la retta $x=0$ e ho ottenuto il primo punto di intersezione $(0, 1)$, poi ho intersecato la funzione con la retta $y=3$ e ho ottenuto $3=e^x$ che, applicando la definizione di logaritmo, mi permette di scrivere $x=ln3$, quindi il secondo punto ha coordinate $(ln3, 3)$, inoltre la retta sta sopra la funzione, perciò per trovare l'area basta calcolare $A=int_0^ln3 3 dx - int_0^ln3 e^x dx$
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