Calcolo del Luogo dei Punti
Ciao.
Vi chiedo un piccolo aiuto per un problema di geometria analitica che ho svolto completamente tranne l'ultimo punto.
Traccia il grafico dell'iperbole $y = (1+x)/(1-x)$ dopo averne determinato il centro $C$ e gli asintoti.
a. Scrivi l'equazione della retta $t$ tangente all'iperbole nel suo punto di intersezione con l'asse x. FATTO <$y=1/2(x+1)$>
b. Scrivi l'equazione dell'iperbole equilatera $\delta$ avente per asintoti gli assi di simmetria di $\gamma$ e passante per il punto di coordinate (2,1); traccia quindi il grafico di $\delta$ e deduci quanti punti in comune hanno $\gamma$ e $\delta$. FATTO <$(x-1)^2-(y+1)^2 = - 3$>
c. Scrivi l'equazione della circonferenza di centro $C$ tangente a $\gamma$. FATTO <$x^2+y^2-2x+2y-2=0$>
d. Verifica che $\gamma$ è il luogo dei punti $P$ del piano pe cui $sqrt(2)\bar(PH) = \bar(PF)$, essenso $H$ la proiezione di $P$ sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante ed $F(-1,1)$.
Il libro non fornisce risposta del punto $d.$.
Per quanto riguarda il punto ho impostato questo ragionamento.
Il punto $P$ appartiene alla cURva $\gamma$ quindi ha coordinate $P(x, (1+x)/(1-x))$.
Ho calcolato Il segmento $\bar(PH)$ con la distanza punto-retta; quindi, $\bar(PH)=(-x^2-1)/(1-x)/sqrt(2)$.
Ho calcolato Il segmento $\bar(PF)$ con la distanza tra due punti; quindi, $\bar(PF)=(x^2+1)/(x-1)$.
Pertanto, $sqrt(2)\bar(PH) = \bar(PF)$ diventa $sqrt(2)*(-x^2-1)/(1-x)/sqrt(2) = (x^2+1)/(x-1)$.
Questa uguaglianza è vera ossia svolgendo i calcoli mi trovo che $0 = 0$.
Dove sbaglio? Solitamente dovrebbe venire una conica oppure una retta; intendo come luogo dei punti.
Posto anche l'immagine che ho realizzato con GeoGebra.
Grazie del vostro aiuto.
Raffaele
Vi chiedo un piccolo aiuto per un problema di geometria analitica che ho svolto completamente tranne l'ultimo punto.
Traccia il grafico dell'iperbole $y = (1+x)/(1-x)$ dopo averne determinato il centro $C$ e gli asintoti.
a. Scrivi l'equazione della retta $t$ tangente all'iperbole nel suo punto di intersezione con l'asse x. FATTO <$y=1/2(x+1)$>
b. Scrivi l'equazione dell'iperbole equilatera $\delta$ avente per asintoti gli assi di simmetria di $\gamma$ e passante per il punto di coordinate (2,1); traccia quindi il grafico di $\delta$ e deduci quanti punti in comune hanno $\gamma$ e $\delta$. FATTO <$(x-1)^2-(y+1)^2 = - 3$>
c. Scrivi l'equazione della circonferenza di centro $C$ tangente a $\gamma$. FATTO <$x^2+y^2-2x+2y-2=0$>
d. Verifica che $\gamma$ è il luogo dei punti $P$ del piano pe cui $sqrt(2)\bar(PH) = \bar(PF)$, essenso $H$ la proiezione di $P$ sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante ed $F(-1,1)$.
Il libro non fornisce risposta del punto $d.$.
Per quanto riguarda il punto ho impostato questo ragionamento.
Il punto $P$ appartiene alla cURva $\gamma$ quindi ha coordinate $P(x, (1+x)/(1-x))$.
Ho calcolato Il segmento $\bar(PH)$ con la distanza punto-retta; quindi, $\bar(PH)=(-x^2-1)/(1-x)/sqrt(2)$.
Ho calcolato Il segmento $\bar(PF)$ con la distanza tra due punti; quindi, $\bar(PF)=(x^2+1)/(x-1)$.
Pertanto, $sqrt(2)\bar(PH) = \bar(PF)$ diventa $sqrt(2)*(-x^2-1)/(1-x)/sqrt(2) = (x^2+1)/(x-1)$.
Questa uguaglianza è vera ossia svolgendo i calcoli mi trovo che $0 = 0$.
Dove sbaglio? Solitamente dovrebbe venire una conica oppure una retta; intendo come luogo dei punti.
Posto anche l'immagine che ho realizzato con GeoGebra.
Grazie del vostro aiuto.
Raffaele
Risposte
Ripensando bene, la traccia d. chiede di verificare e non calcolare il luogo dei punti; quindi, poichè la mia uguaglianza è senz'altro verificata, il problema è risolto.
Non è così?
Raffaele
Non è così?
Raffaele
Il punto P appartiene alla curva γ quindi ha coordinate $P(x,1+x1−x)$.
Sbagli in questo passaggio. Questo è quello che devi arrivare a dimostrare.
Preso un qualsiasi punto $P(x,y)$ del piano, la sua distanza da $F(-1,1)$ è uguale a:
$PF=sqrt((y-1)^2+(x+1)^2)$
La sua distanza dalla bisettrice è:
$PH=|y-x|/sqrt(2)$
Imponendo $sqrt(2)*PH=PF$ abbiamo:
$|y-x|= sqrt((y-1)^2+(x+1)^2)$
Che se risolta porta alla tesi.
Grazie per la risposta.
Ho ancora un dubbio. La traccia chiede di verificare che $\gamma$ è il luogo dei punti P del piano..... e quindi non un punto $P$ qualsiasi. Ecco perché ho imposto che $P$ appartenesse a $\gamma$. Non credi sia così?
Raffaele
Ho ancora un dubbio. La traccia chiede di verificare che $\gamma$ è il luogo dei punti P del piano..... e quindi non un punto $P$ qualsiasi. Ecco perché ho imposto che $P$ appartenesse a $\gamma$. Non credi sia così?
Raffaele
[quote=Vulplasir]
Altro dubbio.
La distanza dalla bisettrice non dovrebbe essere, nel tuo esempio, $|x-y|$? L'equazione della bisettrice è infatti $x-y=0$.
Raffaele
La sua distanza dalla bisettrice è:
$PH=|y-x|/sqrt(2)$
Imponendo $sqrt(2)*PH=PF$ abbiamo:
$|y-x|= sqrt((y-1)^2+(x+1)^2)$
Che se risolta porta alla tesi.
Altro dubbio.
La distanza dalla bisettrice non dovrebbe essere, nel tuo esempio, $|x-y|$? L'equazione della bisettrice è infatti $x-y=0$.
Raffaele
Ho ancora un dubbio. La traccia chiede di verificare che γ è il luogo dei punti P del piano..... e quindi non un punto P qualsiasi. Ecco perché ho imposto che P appartenesse a γ. Non credi sia così?
Beh da come lo dice il testo penso vadano bene tutti e due, ossia, il testo dice: VERIFICA che γ sia il luogo dei punti etc, tu hai preso un punto qualsiasi appartenente a $γ$ e hai verificato che soddisfacesse quella determinata proprietà richiesta dall'esercizio, hai notato che hai ottenuto una identità, ossia una equazione sempre valida, e dunque tutti i punti di $γ$ soddisfano una certa proprietà, condizione sufficiente affinché $γ$ sia il luogo cercato. Si tratta appunto di una condizione sufficiente, ma non necessaria, è probabile appunto che esistano altri luoghi geometrici che soddisfino quella proprietà, l'unico modo per esserne certi è appunto considerare un punto qualunque $P(x,y)$ del piano e vedere cosa ne esce fuori. Sicuramente, da come lo chiede l'esercizio, è corretto anche il tuo metodo, ma di certo è più completa e rigorosa una dimostrazione come quella che ti ho proposto io.
La distanza dalla bisettrice non dovrebbe essere, nel tuo esempio, |x−y|? L'equazione della bisettrice è infatti x−y=0
Le distanze sono equivalenti, dipende da come si usa l'equazione della retta infatti, se in funzione di $y$ oppure no:
La distanza di un punto $(x_0, y_0)$ dalla retta $ax+by+c=0$ è :
$d=|ax_0+by_0+c|/sqrt(a^2+b^2)$
Se la retta invece nella forma del tipo: $y=mx+q$ la distanza è:
$d=|y_0-mx_0-q|/sqrt(1+m^2)$
Io ho usato quest'ultima perché ho scritta la bisettrice nella forma $y=x$, ma ripeto sono equivalenti, infatti $|y-x|=|x-y|$
Grazie davvero. Tutto chiaro.
Sei molto bravo.
Raffaele
Sei molto bravo.
Raffaele
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