Calcolo del limite

[karera1]

Qualcuno mi può dimostrare passo a passo questo limite:
$\lim_{x\rightarrow\infty} ((e^x x^(2x))/((x!)^3)) = 0$

[cooper1]

ci potresti mettere anche un po' del tuo, magari dicendo cosa hai già tentato.

io farei così:
hint 1: $x! ~_(x->oo) sqrt(2pix)(x/e)^x$
hint 2: usa la gerarchia degli infiniti.. per $x->+oo$ vale

$$ (log_b x)^\beta \ll x^\alpha \ll a^x \ll x! \ll x^x $$

[karera1]

Non so proprio da dove iniziare. Grazie comunque per la risposta

[cooper1]

usando i due consigli che ti ho dato nel messaggio precedente cosa puoi fare? fai almeno il primo passaggio, vedi cosa esce e se puoi semplificare qualcosa.
poi prova a ragionare anche sul secondo consiglio.
nel frattempo posta i passaggi del primo così ragioniamo su cose che hai fatto perchè ha poco senso che qualcuno te lo risolva senza che tu capisca il meccanismo.

[karera1]

$lim _(x->infty)((e^x x^(2x))/(x!)^3) = lim _(x->infty)((e^x x^(2x))/(sqrt(2pix)(x/e)^x)^3) =lim _(x->infty)((e^x x^(2x))/(sqrt((2pix)^3)(x^(3x)/e^(3x)))) = lim _(x->infty)((e^(4x) x^(2x))/((2pix)^(3/2)x^(3x))) = lim _(x->infty)((e^(4x))/((2pix)^(3/2)x^x)) = lim _(x->infty)((e^(4x))/((2pi)^(3/2)x^(3/2)x^x)) = (2pi)^(3/2)lim _(x->infty)((e^(4x))/(x^((3+2x)/2)))$

credo di aver fatto tutto giusto fino qui..

[cooper1]

ok. considera questa espressione: $e^(4x)/(x^(3/2)x^x)$
con il secondo consiglio che ti ho dato, cosa potresti dire?

[karera1]

"cooper":ok. considera questa espressione: $e^(4x)/(x^(3/2)x^x)$
con il secondo consiglio che ti ho dato, cosa potresti dire?

il denominatore cresce più velocemente del numeratore

[cooper1]

quindi cosa puoi concludere?

[karera1]

quindi il limite è uguale a 0. Quindi quel 4 in $e^(4x)$ non fa nessuna differenza, nel senso che
$lim_(x->infty)((e^(4x))/(x^x)) = lim_(x->infty)((e^(x))/(x^x))$ ?

[cooper1]

esatto.

[karera1]

Grazie