Calcolo del dominio
ciao a tutti, dovrei fare questo esercizio sul calcolo del dominio, ma non sono certa del risultato, qualcuno può vedere se ho fatto bene?grazie!!!
calcolare il campo di esistenza di: \(\displaystyle \frac{ \sqrt {4-\left(log_{\frac{3}{4}}(x+1)+2\right)^2} }{\pi-arccos(x) }\)
\(\displaystyle -1\leq x\leq 1 \)
\(\displaystyle arccos(x)\neq \pi \)
\(\displaystyle x\neq cos ( \pi) \)
\(\displaystyle 4-\left(log_{\frac{3}{4}}(x+1)+2\right)^2\geq 0\)
\(\displaystyle \left(log_{\frac{3}{4}}(x+1)+2\right)^2\leq 4\)
\(\displaystyle {\left\lbrace\matrix {{log_{\frac{3}{4}}(x+1)+2 } \geq {4 }\\ {log_{\frac{3}{4}}(x+1)+2 } \leq {-4 } } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{log_{\frac{3}{4}}(x+1) } \geq {4-2 }\\ {log_{\frac{3}{4}}(x+1) } \leq {-4-2 } } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{log_{\frac{3}{4}}(x+1) } \geq {2 }\\ {log_{\frac{3}{4}}(x+1)} \leq {-6} } \right.}\)
\(\displaystyle {\left\lbrace\matrix {{log_{\frac{3}{4}}(x+1) } \geq {log_{\frac{3}{4}}\left(\frac{3}{4}\right)^2 }\\ {log_{\frac{3}{4}}(x+1)} \leq {log_{\frac{3}{4}}\left(\frac{3}{4}\right)^{-6}} } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{x+1} \leq {\left(\frac{3}{4}\right)^2 }\\ { x+1 } \geq {\left(\frac{3}{4}\right)^{-6} } } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{x+1} \leq {\frac{9}{16} }\\ { x+1 } \geq {\frac{4096}{729} } } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{x} \leq {\frac{-7}{16} }\\ { x } \geq {\frac{3367}{729} } } \right.}\)
\(\displaystyle Dominio= \left(-1 ; \; \ \frac{-7}{16} \right) / {cos(\pi)} \)
va bene? se no dove sbaglio?grazie
calcolare il campo di esistenza di: \(\displaystyle \frac{ \sqrt {4-\left(log_{\frac{3}{4}}(x+1)+2\right)^2} }{\pi-arccos(x) }\)
\(\displaystyle -1\leq x\leq 1 \)
\(\displaystyle arccos(x)\neq \pi \)
\(\displaystyle x\neq cos ( \pi) \)
\(\displaystyle 4-\left(log_{\frac{3}{4}}(x+1)+2\right)^2\geq 0\)
\(\displaystyle \left(log_{\frac{3}{4}}(x+1)+2\right)^2\leq 4\)
\(\displaystyle {\left\lbrace\matrix {{log_{\frac{3}{4}}(x+1)+2 } \geq {4 }\\ {log_{\frac{3}{4}}(x+1)+2 } \leq {-4 } } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{log_{\frac{3}{4}}(x+1) } \geq {4-2 }\\ {log_{\frac{3}{4}}(x+1) } \leq {-4-2 } } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{log_{\frac{3}{4}}(x+1) } \geq {2 }\\ {log_{\frac{3}{4}}(x+1)} \leq {-6} } \right.}\)
\(\displaystyle {\left\lbrace\matrix {{log_{\frac{3}{4}}(x+1) } \geq {log_{\frac{3}{4}}\left(\frac{3}{4}\right)^2 }\\ {log_{\frac{3}{4}}(x+1)} \leq {log_{\frac{3}{4}}\left(\frac{3}{4}\right)^{-6}} } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{x+1} \leq {\left(\frac{3}{4}\right)^2 }\\ { x+1 } \geq {\left(\frac{3}{4}\right)^{-6} } } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{x+1} \leq {\frac{9}{16} }\\ { x+1 } \geq {\frac{4096}{729} } } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{x} \leq {\frac{-7}{16} }\\ { x } \geq {\frac{3367}{729} } } \right.}\)
\(\displaystyle Dominio= \left(-1 ; \; \ \frac{-7}{16} \right) / {cos(\pi)} \)
va bene? se no dove sbaglio?grazie
Risposte
Primo il $cos pi = -1$, quindi basta scrivere $x != -1$ poi $(log_(3/4) (x+1)+2)^2 <=4$ diventa $-2 <=log_(3/4) (x+1)+2<=2$, cioè $\{(log_(3/4) (x+1)+2<=2),(log_(3/4) (x+1)+2>= -2):}$ infine vedo che non hai messo le condizioni di esistenza del logaritmo, anche se mi pare che tu le abbia usate, comunque $x+1>0$, le condizioni dell'arccos sono corrette.
"@melia":
Primo il $cos pi = -1$, quindi basta scrivere $x != -1$ poi $(log_(3/4) (x+1)+2)^2 <=4$ diventa $-2 <=log_(3/4) (x+1)+2<=2$, cioè $\{(log_(3/4) (x+1)+2<=2),(log_(3/4) (x+1)+2>= -2):}$ infine vedo che non hai messo le condizioni di esistenza del logaritmo, anche se mi pare che tu le abbia usate, comunque $x+1>0$, le condizioni dell'arccos sono corrette.
mi permetto di disturbarti ancora per chiederti se ho applicato bene le tue correzioni. comunque grazie mille per la risposta
calcolare il campo di esistenza di: \(\displaystyle \frac{ \sqrt {4-\left(log_{\frac{3}{4}}(x+1)+2\right)^2} }{\pi-arccos(x) }\)
\(\displaystyle -1\leq x\leq 1 \)
\(\displaystyle arccos(x)\neq \pi \)
\(\displaystyle x\neq cos ( \pi) \)
\(\displaystyle x\neq -1\)
\(\displaystyle (x+1)\geq 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ x\geq -1 \)
\(\displaystyle 4-\left(log_{\frac{3}{4}}(x+1)+2\right)^2\geq 0\)
\(\displaystyle \left(log_{\frac{3}{4}}(x+1)+2\right)^2\leq 4\)
\(\displaystyle {\left\lbrace\matrix {{log_{\frac{3}{4}}(x+1)+2 } \geq {2 }\\ {log_{\frac{3}{4}}(x+1)+2 } \leq {-2 } } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{log_{\frac{3}{4}}(x+1) } \geq {2-2 }\\ {log_{\frac{3}{4}}(x+1) } \leq {-2-2 } } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{log_{\frac{3}{4}}(x+1) } \geq {0 }\\ {log_{\frac{3}{4}}(x+1)} \leq {-4} } \right.}\)
\(\displaystyle {\left\lbrace\matrix {{log_{\frac{3}{4}}(x+1) } \geq {log_{\frac{3}{4}}\left(\frac{3}{4}\right)^0 }\\ {log_{\frac{3}{4}}(x+1)} \leq {log_{\frac{3}{4}}\left(\frac{3}{4}\right)^{-4}} } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{x+1} \leq {\left(\frac{3}{4}\right)^0 }\\ { x+1 } \geq {\left(\frac{3}{4}\right)^{-4} } } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{x+1} \leq {1 }\\ \\{ x+1 } \geq {\frac{256}{81} } } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{x} \leq {0 }\\ \\ { x } \geq {\frac{175}{81} } } \right.}\)
\(\displaystyle Dominio= [ -1 ; \; \ 0 ] \; \ escluso -1 \)
Mi sono resa conto che usi scorrettamente le parentesi graffe: due disequazioni raccolte da una parentesi graffa significano ricerca delle soluzioni comuni, cioè intersezione delle soluzioni e non la loro unione, inoltre hai invertito nuovamente i versi della disuguaglianza dentro al sistema, infatti $X^2<=4$ diventa $-2<=X<=2$, valori interni, insomma, non esterni, e siccome cerchi il caso in cui entrambe le disequazioni sono verificate, sia $X>= -2$ che $X<=2$, stavolta sì vanno messe a sistema. Quindi
$\{(log_(3/4) (x+1)+2<=2),(log_(3/4) (x+1)+2>= -2):}$ che alla fine dei calcoli diventa $\{(x>=0),(x<= 175/81):}$ da cui $0<=x<= 175/81$ da mettere a sistema con le altre condizioni, a proposito quella del logaritmo non ha il simbolo $=$, ma è solo $x> -1$.
Riassumendo
${(-1<=x<=1,text{CE arcocoseno}),(x!= -1, text{CE frazione}), (x> -1,text{CE logaritmo}),(0<= x<=175/81, text{CE radice}):}$
che, cercando le soluzioni comuni, diventa $0<=x<=1$ cioè $text{Dominio } = [0, 1]$
$\{(log_(3/4) (x+1)+2<=2),(log_(3/4) (x+1)+2>= -2):}$ che alla fine dei calcoli diventa $\{(x>=0),(x<= 175/81):}$ da cui $0<=x<= 175/81$ da mettere a sistema con le altre condizioni, a proposito quella del logaritmo non ha il simbolo $=$, ma è solo $x> -1$.
Riassumendo
${(-1<=x<=1,text{CE arcocoseno}),(x!= -1, text{CE frazione}), (x> -1,text{CE logaritmo}),(0<= x<=175/81, text{CE radice}):}$
che, cercando le soluzioni comuni, diventa $0<=x<=1$ cioè $text{Dominio } = [0, 1]$
grazie mille, davvero gentilissima
"@melia":
Mi sono resa conto che usi scorrettamente le parentesi graffe...
per verificare se ho capito bene i procedimenti da effettuare per riuscire a risolvere il quesito ne ho svolto uno simile, può gentilmente verificare se è corretto? la ringrazio
calcolare il campo di esistenza di: \(\displaystyle \frac{ \sqrt {9-\left(log_{\frac{1}{4}}x+1\right)^2} }{\frac{\pi}{2}-arcsin(x) }\)
\(\displaystyle -1\leq x\leq 1 \)
\(\displaystyle arcsin(x)\neq (\frac{\pi}{2})\)
\(\displaystyle x\neq sen (\frac{\pi}{2}) \)
\(\displaystyle x\neq 1 \)
\(\displaystyle 9-\left(log_{\frac{1}{4}}x+1\right)^2\geq 0\)
\(\displaystyle \left(log_{\frac{1}{4}}x+1\right)^2\leq 9\)
\(\displaystyle {\left\lbrace\matrix {{log_{\frac{1}{4}}x+1 } \leq {3 }\\ {log_{\frac{1}{4}}x+1 } \geq {-3 } } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{log_{\frac{1}{4}}x } \leq {3-1}\\ {log_{\frac{1}{4}}x } \geq {-3-1 } } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{log_{\frac{1}{4}}x } \leq {2 }\\ {log_{\frac{1}{4}}x} \geq {-4} } \right.}\)
\(\displaystyle {\left\lbrace\matrix {{log_{\frac{1}{4}}x } \leq {log_{\frac{1}{4}}\left(\frac{1}{4}\right)^2 }\\ {log_{\frac{1}{4}}x} \geq {log_{\frac{1}{4}}\left(\frac{1}{4}\right)^{-4}} } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{x} \geq {\left(\frac{1}{4}\right)^2 }\\ { x } \leq {\left(\frac{1}{4}\right)^{-4} } } \right.}
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\
{\left\lbrace\matrix {{x} \geq {\frac{1}{16} }\\ { x } \leq {256} } \right.}\)
\(\displaystyle {\frac{1}{16}} \leq {x} \leq {256} \)
\(\displaystyle {\left\lbrace\matrix { {x } \neq {1 }\\ {-1 } \leq {x }\leq {1 } \\ {\frac{1}{16} } \leq {x }\leq {256 } } \right.} \)
\(\displaystyle Dominio= \left(\frac{1}{16} ; \; \ 1 \right[ \)
va bene? grazie mille per l'aiuto
Andava anche posta la condizione per l'esistenza del logaritmo: $log_(1/4)x$ è definito per $x>0$.
"chiaraotta":
Andava anche posta la condizione per l'esistenza del logaritmo: $log_(1/4)x$ è definito per $x>0$.
giustissimo grazie mille, purtroppo dimentico sempre qualcosa
, anche se in questo caso mi è andata bene perchè il risultato non cambia. 
anche se dimentico sempre qualcosa, almeno inizio a capire come eseguirli correttamente, grazie per il vostro aiuto, è davvero prezioso per me!!!
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