Calcolo del codominio di una funzione
Devo calcolare il codominio della funzione
y= $(x^4+2x^2+3)/(x^2+1)^2$
Ho pensato di calcolare l'inversa e trovare il dominio dell'inversa, ma non ottengo il risultato del libro (1;3)
Mi aiutate?
La funzione inversa che ho trovato è :
x= $sqrt(sqrt((3y-4)/(y-1))-1)$
Ecco i passaggi:
$(x^2+1)^2*y=x^4+2*x^2+3$
$yx^4+2*x^2+y=x^4+2*x^2+3$
$(y-1)*x^4+2*(y-1)*x^2-3=-y$
$(y-1)*x^4+3*(y-1)*x^2-(y-1)*x^2-3=-y$
$(y-1)*x^2*(x^2-1)+3*(y-1)*(x^2-1)=-y$
$(y-1)*(x^2-1)*(x^2+3)=-y$
$(x^2-1)*(x^2+3)=-y/(y-1)$
moltiplico al primo membro e compongo un quadrato aggiungendo e togliendo 1
$(x^2+1)^2=(3y-4)/(y-1)$
dopo di che, attraverso l'estrazione della radice arrivo al risultato indicato all'inizio. Dove commetto l'errore che non mi fa ottenere il risultato del libro?
Grazie
y= $(x^4+2x^2+3)/(x^2+1)^2$
Ho pensato di calcolare l'inversa e trovare il dominio dell'inversa, ma non ottengo il risultato del libro (1;3)
Mi aiutate?
La funzione inversa che ho trovato è :
x= $sqrt(sqrt((3y-4)/(y-1))-1)$
Ecco i passaggi:
$(x^2+1)^2*y=x^4+2*x^2+3$
$yx^4+2*x^2+y=x^4+2*x^2+3$
$(y-1)*x^4+2*(y-1)*x^2-3=-y$
$(y-1)*x^4+3*(y-1)*x^2-(y-1)*x^2-3=-y$
$(y-1)*x^2*(x^2-1)+3*(y-1)*(x^2-1)=-y$
$(y-1)*(x^2-1)*(x^2+3)=-y$
$(x^2-1)*(x^2+3)=-y/(y-1)$
moltiplico al primo membro e compongo un quadrato aggiungendo e togliendo 1
$(x^2+1)^2=(3y-4)/(y-1)$
dopo di che, attraverso l'estrazione della radice arrivo al risultato indicato all'inizio. Dove commetto l'errore che non mi fa ottenere il risultato del libro?
Grazie
Risposte
Forse è più comodo ragionare in un altro modo.
Nota che $x^4+2x^2+3 = (x^4+2x^2+1)+2 = (x^2+1)^2+2$, quindi
$(x^4+2x^2+3)/((x^2+1)^2)= ( (x^2+1)^2+2 )/( (x^2+1)^2 )= ( (x^2+1)^2)/((x^2+1)^2) +2/((x^2+1)^2) = 1 +2/((x^2+1)^2)$
Ora, non è complicato verificare che $(x^2+1)^2 in [1,+oo)$ per ogni $x in RR$, quindi...
Nota che $x^4+2x^2+3 = (x^4+2x^2+1)+2 = (x^2+1)^2+2$, quindi
$(x^4+2x^2+3)/((x^2+1)^2)= ( (x^2+1)^2+2 )/( (x^2+1)^2 )= ( (x^2+1)^2)/((x^2+1)^2) +2/((x^2+1)^2) = 1 +2/((x^2+1)^2)$
Ora, non è complicato verificare che $(x^2+1)^2 in [1,+oo)$ per ogni $x in RR$, quindi...
"Gi8":
Forse è più comodo ragionare in un altro modo.
Nota che $x^4+2x^2+3 = (x^4+2x^2+1)+2 = (x^2+1)^2+2$, quindi
$(x^4+2x^2+3)/((x^2+1)^2)= ( (x^2+1)^2+2 )/( (x^2+1)^2 )= ( (x^2+1)^2)/((x^2+1)^2) +2/((x^2+1)^2) = 1 +2/((x^2+1)^2)$
Ora, non è complicato verificare che $(x^2+1)^2 in [1,+oo)$ per ogni $x in RR$, quindi...
OK mi ricavo la funzione inversa da quella che hai ricavato tu e trovo il dominio, ho fatto i calcoli e mi viene. Rimango nel dubbio di quale errore ho commesso nel mio calcolo iniziale
Grazie
Ho trovato un errore nei tuoi passaggi. E' proprio all'inizio:
"macina18":Il primo membro diventa $yx^4+2yx^2+y$, non $yx^4+2x^2+y$.
...
Ecco i passaggi:
$(x^2+1)^2*y=x^4+2*x^2+3$
$yx^4+2*x^2+y=x^4+2*x^2+3$
...
"Gi8":Il primo membro diventa $yx^4+2yx^2+y$, non $yx^4+2x^2+y$.[/quote]
Ho trovato un errore nei tuoi passaggi. E' proprio all'inizio:[quote="macina18"]...
Ecco i passaggi:
$(x^2+1)^2*y=x^4+2*x^2+3$
$yx^4+2*x^2+y=x^4+2*x^2+3$
...
Ti ringrazio per l'attenzione ma l'errore che hai trovato è solo un mio errore di digitazione. Nei calcoli che ho svolto ho scritto in effetti $2yx^2$ come si veda dal raccoglimento che ho effettuato successivamente.
Grazie
"macina18":Non è vero che $3(y-1)*x^2 -3 = 3(y-1)(x^2-1)$
...
$(y-1)*x^4+3*(y-1)*x^2-(y-1)*x^2-3=-y$
$(y-1)*x^2*(x^2-1)+3*(y-1)*(x^2-1)=-y$
...
Certo.
Grazie rifarò i calcoli
Grazie rifarò i calcoli
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