Calcolo dei determinanti
Ciao!
Ho dei problemi per calcolare il determinante di una matrice di ordine quarto o superiore.
Si sa che per snellire i calcoli si deve cercare di rendere nulli gli elementi di una linea, eccetto uno.
Chi mi spiega come fare ciò?
Ad es. prendiamo questo determinante di quarto ordine:
$[(1,2,-1,0),(2,-1,3,1),(1,2,1,-1),(-2,1,3,2)]$
Ho dei problemi per calcolare il determinante di una matrice di ordine quarto o superiore.
Si sa che per snellire i calcoli si deve cercare di rendere nulli gli elementi di una linea, eccetto uno.
Chi mi spiega come fare ciò?
Ad es. prendiamo questo determinante di quarto ordine:
$[(1,2,-1,0),(2,-1,3,1),(1,2,1,-1),(-2,1,3,2)]$
Risposte
teorema (di laplace)
in ogni matrice quadrata di ordine n
la somma dei termini di ogni riga o colonna moltiplicata per i rispettivi complementi algebrici ha un valore che non dipende dalla riga o colonna considerata
in ogni matrice quadrata di ordine n
la somma dei termini di ogni riga o colonna moltiplicata per i rispettivi complementi algebrici ha un valore che non dipende dalla riga o colonna considerata
Un esempio pratico, qualche suggerimento per applicarlo bene?
$A=[(1,2,0,0),(2,-1,5,1),(1,2,2,-1),(-2,1,1,2)]rArrA=[(1,0,0,0),(2,-5,5,1),(1,0,2,-1),(-2,5,1,2)]$
allora $detA=det[(-5,5,1),(0,2,-1),(5,1,2)]
allora $detA=det[(-5,5,1),(0,2,-1),(5,1,2)]
Scusa, ti seccherebbe fare ogni calcolo con calma e scriverlo? Così capisco bene!
Su wikipedia c'e' la descrizione di tutti i metodi:
http://it.wikipedia.org/wiki/Determinante
Personalmente, preferisco la regola di Laplace:
E' un metodo ricorsivo.
Il det. di una matrice del primo ordine e' l'elemento stesso della matrice.
Il det. di una matrice del secondo ordine
| a b |
| c d |
e' dato da $ad - cd$
Dal terzo ordine in poi il determinante e' dato dalla somma di tutti gli elementi di una riga o di una colonna per i rispettivi complementi algebrici.
Il complemento algebrico di un elemento della matrice di ordine n e' una matrice di ordine n-1 ricavata togliendo la riga e la colonna dell'elemento.
Es. la matrice
| a b c |
| d e n |
| g h s |
Il complemento algebrico di n e' la matrice
| a b |
| g h |
tutto chiaro ?
EugenioA
http://it.wikipedia.org/wiki/Determinante
Personalmente, preferisco la regola di Laplace:
E' un metodo ricorsivo.
Il det. di una matrice del primo ordine e' l'elemento stesso della matrice.
Il det. di una matrice del secondo ordine
| a b |
| c d |
e' dato da $ad - cd$
Dal terzo ordine in poi il determinante e' dato dalla somma di tutti gli elementi di una riga o di una colonna per i rispettivi complementi algebrici.
Il complemento algebrico di un elemento della matrice di ordine n e' una matrice di ordine n-1 ricavata togliendo la riga e la colonna dell'elemento.
Es. la matrice
| a b c |
| d e n |
| g h s |
Il complemento algebrico di n e' la matrice
| a b |
| g h |
tutto chiaro ?
EugenioA
nella prima ho sommato alla terza colonna la prima
nella seconda ho sommato alla seconda colonna la prima moltiplicata per -2.
adesso per il teorema sopra enunciato, considerando la prima riga il complemento algebrico di 1 è il determinante della sottomatrice ottenuta sopprimendo la sua riga e colonna moltiplicato per -1 soltanto se è dispari la somma degli indici dell'elemento... scusa il casino
nella seconda ho sommato alla seconda colonna la prima moltiplicata per -2.
adesso per il teorema sopra enunciato, considerando la prima riga il complemento algebrico di 1 è il determinante della sottomatrice ottenuta sopprimendo la sua riga e colonna moltiplicato per -1 soltanto se è dispari la somma degli indici dell'elemento... scusa il casino
ad esempio il complemento algebrico dell'elemento $E_(2,3)=5$ diciamo nella seconda si trova così:
$-1*det[(1,0,0),(1,0,-1),(-2,5,2)]
$-1*det[(1,0,0),(1,0,-1),(-2,5,2)]
per calcolare il determinante continuiamo con il metodo di laplace
$detPsi_1=det[(-5,5,1),(0,2,-1),(5,1,2)]$ e scegliamo ad esempio la prima riga
$=-5*det[(2,-1),(1,2)]*-5*det[(0,-1),(5,2)]*1*det[(0,2),(5,1)]=detA
$detPsi_1=det[(-5,5,1),(0,2,-1),(5,1,2)]$ e scegliamo ad esempio la prima riga
$=-5*det[(2,-1),(1,2)]*-5*det[(0,-1),(5,2)]*1*det[(0,2),(5,1)]=detA
@eugenio:
il complemento algebrico è il determinante non la matrice, moltiplicato per -1 se è dispari la somma degli indici
il complemento algebrico è il determinante non la matrice, moltiplicato per -1 se è dispari la somma degli indici
chiarissimo, grazie ragazzi
"eugenio.amitrano":
Il det. di una matrice del secondo ordine
| a b |
| c d |
e' dato da $ad - cd$
Non dovrebbe essere ad - bc?
certo
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