Calcolo combinatorio esercizio DVD

[ozne1]

Buongiorno,
Apprezzerei qualsivoglia aiuto sul seguente problema di calcolo combinatorio (Quarta Superiore):
Possiedo dieci DVD tra cui due copie di un primo film, tre copie di un secondo e due copie di un terzo.
In quanti modi li posso sistemare nel mio scaffale?
[risposta: 151200]
Grazie mille in anticipo

[gugo82]

E noi apprezzeremmo tanto una qualsiasi tua idea in merito a come risolvere.

[ozne1]

Io avevo pensato ad una permutazione (n= 10 e k= 10)
Poi avevo provato a disporre gli elementi:
111 (primo film + le 2 copie)
2222 (secondo film + le 3 copie)
333 (terzo film + le 2 copie)
Effettivamente la permutazione semplice di 10, se divisa per 24 da il risultato sperato, ma non riesco a capire da dove possa derivare il 24

[StellaMartensitica]

Questo è l'esercizio tipico, delle permutazioni con ripetizione.

In pratica hai $N$ elementi da permutare dove
-un certo elemento si ripete $n_1$ volte;
-un certo altro elemento si ripete $n_2$ volte;
-un altro elemento ancora si ripete $n_3$ volte;
...
-il generico elemento "i-esimo" che si ripete $n_i$ volte.

Le permutazioni sono: $P_N=(N!)/(n_1!*n_2!*n_3!*...*n_i!)$
ecc. ecc.

In questi casi devi tener conto del fatto che gli elementi che si ripetono non si distinguono tra loro.
Nel tuo caso hai:
Il film 1 $F_1$ che si ripete $n_1=2$ volte.
Il film 2 $F_2$ che si ripete $n_2=3$ volte.
Il film 3 $F_3$ che si ripete $n_3=2$ volte.
E poi hai i restanti $3$ Film, tutti diversi tra loro:
Il film $F_4$.
Il film $F_5$.
Il film $F_6$.

Applichi la formula e quindi:
$P=(10!)/(2!*3!*2!)$
Se non ti piace la formula me lo dici che cerco la giustificazione della stessa.

[gugo82]

Considera una disposizione qualsiasi tra le $10!$ possibili.
Dato che le copie del primo DVD sono indistinguibili, tale permutazione è indistinguibile da quella che ha le due copie in ordine inverso.
Pertanto, le possibili permutazioni distinte (rispetto al primo DVD) sono, in effetti, $(10!)/2 = (10!)/(2!)$.

Fissa una delle $(10!)/(2!)$ permutazioni distinte rimaste.
Dato che le copie del terzo DVD sono indistinguibili, lo stesso ragionamento ti mostra che sono identificabili la permutazione fissata e quella con le due copie in ordine inverso.
Dunque, le possibili permutazioni distinte (rispetto al primo ed al terzo DVD) sono $(10!)/(2! 2!)$.

Infine, fai lo stesso discorso col secondo DVD.
Fissata una delle $(10!)/(2!2!)$ permutazioni, essa è identificabile con una qualsiasi delle $3!$ permutazioni che hanno le tre copie del secondo DVD in ordine diverso.
Perciò, le possibili permutazioni distinte (rispetto a tutti e tre DVD con copie) è $(10!)/(2!2!3!) = 151200$.


@SirDaniel: Ok la formula, ma se non spieghi da dove viene non è che la situazione si chiarisce molto.

[StellaMartensitica]

Già. Tra l'altro mi sono accorto adesso di aver sbagliato simboli, le permutazioni con ripetizione se non sbaglio andrebbero indicate con una scrittura del tipo

$P_N^(n_1, n_2, ..., n_i)$

[ozne1]

Grazie ad entrambi e mi scuso per non aver dato un feedback ieri.
Mi è tutto chiaro