Calcolo Combinatorio: controllo

[Steven11]

Ciao a tutti,
vi chiedo di controllare la risoluzione di questo esercizio che devo inserire nel sito.
Non ho molta esperienza con gli esercizi di combinatoria, anche se credo sia tutto giusto.

Ad inizio anno, in una certa scuola si forma una classe di 20 alunni

1)Gli studenti devono essere divisi in 4 gruppi, due da $6$ e due da $4$. In quanti modi è possibile suddividerli?
2)Si devono eleggere 4 ragazzi: due rappresentanti e due vicerappresentanti. Determinare in quanti modi è possibile scegliere i 4 ragazzi, sapendo che ovviamente uno studente non può ricoprire la carica di rappresentante e di vice (i 4 devono essere tutti distinti).

1)
I ragazzi sono venti.
Supponiamo che l'insegnante decida i primi sei ragazzi che compongono un gruppo: questi possono essere scelti in
$C_(20,6)$ modi, ovvero $((20),(6))$ modi. L'ordine non conta infatti, i gruppi differiscono solo per qualità.

Scelti $6$ ragazzi qualsiasi, decide di chiamarne altri $6$ per formare il secondo gruppo.
A questo punto questi $6$ possono essere scelti tra i rimanenti $14$ (infatti un gruppo è già determinato)
I possibili modi sono pertanto $((14),(6))$

Mancano $8$ ragazzi all'appello.
L'insegnante ne sceglie $4$. Le possibili combinazioni sono date da
$((8),(4))$

I restanti $4$ possono essere scelti in un modo solo.

Pertanto le possibili configurazioni sono
$((20),(6))*((14),(6))*((8),(4))=8147739600$

2)
Supponiamo che dobbiamo scegliere prima i due rappresentanti, e successivamente i due vice.
I due rappresentanti possono essere scelti in
$C_(20,2)$ modi.
A questo punto i vice possono essere scelti tra i 18 rimanenti in
$C_(18,2)$ modi
Le configurazione possibili sono dunque
$((20),(2))*((18),(2))=29070$

Alternativamente potevamo dire che i $4$ ragazzi addetti alla rappresentanza sono selezianabili in
$((20),(4))$
e tra di essi le possibili configurazioni "primi rappresentanti e vice" sono
$((4),(2))$
Peranto le configurazioni totali sono
$((20),(4))*((4),(2))=29070$

Grazie per le conferme/smentite
Buona serata.

[franced]

Le soluzioni mi sembrano corrette.

Francesco Daddi

[nox89]

Ciao Steven ho provato a risolvere il problema anche io e mi vengono gli stessi risultati, il tuo procedimento mi pare corretto ed anche ben espresso dal punto di vista logico.

[Steven11]

Bene, allora vado tranquillo.
Grazie a entrambi, ciao.

Stefano