Calcolo combinatorio
Si mescolano 10 carte e se ne distribuiscono 3 al giocatore A e 3 al giocatore B .
In quanti modi diversi può avvenire la distribuzione?
In quanti modi diversi può avvenire la distribuzione?
Risposte
Dunque, all'inizio hai 10 carte. Di queste 10 carte, 3 vengono scelte a caso e consegate al giocatore A.
Questo é equivalente a chiedersi quanti sottoinsiemi di 3 elementi possiamo formare a partire da un insieme grande di 10 elementi.
La risposta in questo caso é data dal numero di combinazioni senza ripetizione, cioé dal coefficiente binomiale [tex]{10 \choose 3} = \frac{10!}{(10-3)! \cdot 3!}[/tex].
Adesso, rimangono sul tavolo 7 carte.
Di queste 7 carte, 3 vengono scelte e consegnate al giocatore B.
Il numero di combinazioni possibili adesso é [tex]{7 \choose 3}[/tex].
Combinando questi due pezzetti di informazione dovresti essere in grado di scrivere la risposta giusta.
Se hai ancora problemi faccelo sapere.
Ciao.
Questo é equivalente a chiedersi quanti sottoinsiemi di 3 elementi possiamo formare a partire da un insieme grande di 10 elementi.
La risposta in questo caso é data dal numero di combinazioni senza ripetizione, cioé dal coefficiente binomiale [tex]{10 \choose 3} = \frac{10!}{(10-3)! \cdot 3!}[/tex].
Adesso, rimangono sul tavolo 7 carte.
Di queste 7 carte, 3 vengono scelte e consegnate al giocatore B.
Il numero di combinazioni possibili adesso é [tex]{7 \choose 3}[/tex].
Combinando questi due pezzetti di informazione dovresti essere in grado di scrivere la risposta giusta.
Se hai ancora problemi faccelo sapere.
Ciao.
Ah ora ho capito!
Ne approfitto per esporre un altro problema:
Da un'urna che contiene 6 palline numerate da 1 a 6 se ne estraggono 5 con restituzione.
Si calcoli la probabilità che tra le palline etratte vi siano due coppie di numeri uguali.
Ne approfitto per esporre un altro problema:
Da un'urna che contiene 6 palline numerate da 1 a 6 se ne estraggono 5 con restituzione.
Si calcoli la probabilità che tra le palline etratte vi siano due coppie di numeri uguali.
"Due e due sole coppie" oppure "almeno due coppie"? Di solito è "almeno due coppie"...
due e solo due coppie..
Questo problema é decisamente piú interessante e un po´ piú elaborato del primo che hai esposto.
Innanzitutto, il problema da te descritto, se ci pensi un attimo, é del tutto equivalente a chiedersi quante stringhe di 5 caratteri si possono formare da un alfabeto di 6 caratteri, tali che contengano due coppie di caratteri uguali. Alternativamente, se ti aiuta, puoi immaginare di avere un "lucchetto a combinazioni" con 5 rotelle, e in ciascuna rotella hai disposizione dei numeri da 1 a 6. Stai chiedendo quante "combinazioni" si possono formare aventi due coppie di numeri uguali.
Ció non ha rilevanza per la risoluzione in sé, ma "spogliare" il problema originale e riformalizzarlo in termini di stringhe e alfabeti aiuta spesso in combinatoria, dove una buona parte di problemi puó essere riformulato in maniera tale.
Per quanto riguarda la risoluzione io procederei cosí (potrebbe esserci un modo piú breve, forse):
consideriamo una stringa del tipo xxyyz, per esempio 11223.
Di questa stringa, enumeriamo tutte le possibili permutazioni che sono [tex]5!=120[/tex]. Purtroppo cosí facendo stiamo contando piú volte delle permutazioni uguali: infatti se consideri 11223 e scambi il secondo elemento con il primo, ottieni di nuovo 11223, che NON dovresti contare. In questo caso devi enumerare le permutazioni con ripetizioni (vedi questa pagina: http://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_combinatorio#Permutazioni_con_ripetizioni) che sono ${5!}/(2!*2!)=30$
Adesso bisogna chiedersi quante tipologie di stringhe xxyyz si possono formare. Noi ne abbiamo elencata solo una per ora, cioé 11223. Ma in realtá ce ne sono molte altre, tipo 22445, oppure 22446, e cosí via. I diversi modi di prendere gli elementi che si ripetono (cioé xxyy) sarebbe uguale al numero di combinazioni [tex]{6 \choose 2}=15[/tex], questo va poi moltiplicato per il numero dei rimanenti elementi z "orfani" da associare ad xxyy, che sarebbero 4.
In conclusione, il numero totale di stringhe aventi due coppie di numeri uguali é dato da [tex]15*4*30=1800[/tex], mentre il numero totale di stringhe lunghe 5 caratteri che si possono creare da un alfabeto di 6 é dato ovviamente da $6^5=7776$.
La probabilitá che cerchi é quindi uguale a [tex]1800/7776=0.231...\approx 23\%[/tex]
Spero di non aver sbagliato niente.
Ciao.
Innanzitutto, il problema da te descritto, se ci pensi un attimo, é del tutto equivalente a chiedersi quante stringhe di 5 caratteri si possono formare da un alfabeto di 6 caratteri, tali che contengano due coppie di caratteri uguali. Alternativamente, se ti aiuta, puoi immaginare di avere un "lucchetto a combinazioni" con 5 rotelle, e in ciascuna rotella hai disposizione dei numeri da 1 a 6. Stai chiedendo quante "combinazioni" si possono formare aventi due coppie di numeri uguali.
Ció non ha rilevanza per la risoluzione in sé, ma "spogliare" il problema originale e riformalizzarlo in termini di stringhe e alfabeti aiuta spesso in combinatoria, dove una buona parte di problemi puó essere riformulato in maniera tale.
Per quanto riguarda la risoluzione io procederei cosí (potrebbe esserci un modo piú breve, forse):
consideriamo una stringa del tipo xxyyz, per esempio 11223.
Di questa stringa, enumeriamo tutte le possibili permutazioni che sono [tex]5!=120[/tex]. Purtroppo cosí facendo stiamo contando piú volte delle permutazioni uguali: infatti se consideri 11223 e scambi il secondo elemento con il primo, ottieni di nuovo 11223, che NON dovresti contare. In questo caso devi enumerare le permutazioni con ripetizioni (vedi questa pagina: http://it.wikipedia.org/wiki/Calcolo_combinatorio#Permutazioni_con_ripetizioni) che sono ${5!}/(2!*2!)=30$
Adesso bisogna chiedersi quante tipologie di stringhe xxyyz si possono formare. Noi ne abbiamo elencata solo una per ora, cioé 11223. Ma in realtá ce ne sono molte altre, tipo 22445, oppure 22446, e cosí via. I diversi modi di prendere gli elementi che si ripetono (cioé xxyy) sarebbe uguale al numero di combinazioni [tex]{6 \choose 2}=15[/tex], questo va poi moltiplicato per il numero dei rimanenti elementi z "orfani" da associare ad xxyy, che sarebbero 4.
In conclusione, il numero totale di stringhe aventi due coppie di numeri uguali é dato da [tex]15*4*30=1800[/tex], mentre il numero totale di stringhe lunghe 5 caratteri che si possono creare da un alfabeto di 6 é dato ovviamente da $6^5=7776$.
La probabilitá che cerchi é quindi uguale a [tex]1800/7776=0.231...\approx 23\%[/tex]
Spero di non aver sbagliato niente.
Ciao.
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