Calcolo combinatorio
Raga, il problema è il seguente:
Una squadra di pallavolo è composta da 10 giocatori, che possono giocare indifferentemente in tutti i ruoli. Sapendo che la formazione titolare è composta da 6 giocatori, quante sono le possibili formazioni titolari?
Avrei bisogno di una conferma che il ragionamento fila. Allora:
- Le persone non si possono ripetere --> escludiamo tutte le formule con ripetizione.
- Ogni gruppo contiene solo una parte degli elementi ma non tutti: numero oggetti \(\displaystyle \not = \) numero posti --> non si tratta di permutazioni
- L'ordine delle persone all'interno della squadra è irrilevante --> non si tratta di disposizioni
Quindi si tratta di applicare la formula per le combinazioni semplici:
\(\displaystyle C_{n,k} = {n! \over (n - k)! \cdot k!} \) con \(\displaystyle n = 10 \) e \(\displaystyle k = 6 \), che andando a fare i conti ci dà 210.
Una squadra di pallavolo è composta da 10 giocatori, che possono giocare indifferentemente in tutti i ruoli. Sapendo che la formazione titolare è composta da 6 giocatori, quante sono le possibili formazioni titolari?
Avrei bisogno di una conferma che il ragionamento fila. Allora:
- Le persone non si possono ripetere --> escludiamo tutte le formule con ripetizione.
- Ogni gruppo contiene solo una parte degli elementi ma non tutti: numero oggetti \(\displaystyle \not = \) numero posti --> non si tratta di permutazioni
- L'ordine delle persone all'interno della squadra è irrilevante --> non si tratta di disposizioni
Quindi si tratta di applicare la formula per le combinazioni semplici:
\(\displaystyle C_{n,k} = {n! \over (n - k)! \cdot k!} \) con \(\displaystyle n = 10 \) e \(\displaystyle k = 6 \), che andando a fare i conti ci dà 210.
Risposte
Corretto
Grazie! Purtroppo non ho studiato alle scuole superiori quest'argomento e faccio tante difficoltà a capire quando si tratta di combinazioni, quando permutazioni, quando disposizioni
Ciao, per capire intuitivamente quando applicare le combinazioni, le permutazioni e/o le disposizioni. Ti mostro questo ragionamento.
Permutazioni:
In primo luogo guardiamo le permutazioni. Immagina di prendere tutte le lettere dell'alfabeto italiano, 21 lettere. Vuoi domandarti quante parole di 21 lettere differenti puoi formare. Ovvero ognuna delle 21 lettere può essere messa in una posizione all'interno della parola di 21 lettere. Dobbiamo scegliere la prima lettera della nostra parola, quante lettere possiamo scegliere? In totale 21 lettere differenti. Ne scegli una e la metti in prima posizione! Ora prendi la seconda posizione, quante lettere possiamo scegliere da mettere in seconda posizione? Siccome hai già messo una lettera in una posizione hai solamente 20 lettere ancora a disposizione. Ne scegli una e la metti lì. Prendi la terza posizione e hai 19 lettere "libere", etc.
Quindi il numero di parole distinte di lunghezza 21 con 21 lettere è dato da \[21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot \ldots \cdot 1 = 21! = P_{21} \]
Disposizioni:
Le disposizioni, in un certo senso, sono delle permutazioni di un sottoinsieme. Prendiamo sempre lo stesso esempio di prima, abbiamo 21 lettere. Sta volta ti domandi quante parole di 3 lettere differenti vuoi formare. Come prima dobbiamo scegliere la prima lettera della nostra parola di 3 lettere, quante lettere possiamo scegliere? Esattamente 21 come prima. La scegli e la metti in prima posizione. Ora passi alla seconda posizione Quante lettere hai ancora disponibili? 20. Ne scegli una e la metti in seconda posizione. Ora vogliamo scegliere l'ultima lettera, quante ne hai ha disposizione? 19. La scegli e la piazzi in ultima posizione.
Quindi il numero di parole distinte di lunghezza 3 con 21 lettere a disposizione è dato da
\[ 21 \cdot 20 \cdot 19 = \frac{21!}{(21-3)!} = D_{21,3} \]
Da notare che fino ad ora siccome fissavi una lettera in una posizione precisa distinguevamo l'ordine. Ad esempio le parole TRE e RET sono distinte. Perché per formare la prima parola abbiamo fissato la T, poi la R ed infine la E. Quindi dopo aver fissato la T come seconda lettera non potevamo più scegliere la lettera T. Mentre la seconda parola RET fissiamo la R, ora in seconda posizione possiamo scegliere la T volendo. Quindi ci troviamo in una situazione differente rispetto ad aver fissato prima la T.
Combinazioni:
Le ottieni quando devi scegliere un certo numero di oggetti tra un' altro numero di oggetti a disposizione più grande. Molto semplice. Il coefficiente binomiale si scrive
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k! } \]
In francese ad esempio si legge "\(k \) parmi \(n\)", che è molto esplicito perché è traducibile con "\(k\) fra \(n\)". Ovvero \(k\) oggetti scelti fra \(n \) oggetti.
Quindi con l'esempio dell'alfabeto. Vogliamo capire in quanti modi possiamo scegliere 3 lettere dell'alfabeto composto da 21 lettere. Usiamo le disposizioni
Come prima scegliamo una parola di 3 lettere. E otteniamo
\[ D_{21,3} = \frac{21!}{(21-3)!} \]
c'è solo un problema. Se fissiamo ad esempio 3 lettere scelte. Come le lettere R,T,E abbiamo contato anche tutte le permutazioni possibili con queste 3 lettere, tant'è che abbiamo la parola RTE, TRE, ETR, etc. Fissate 3 lettere in quanti modi possiamo disporle? Vedi spiegazione sulle permutazioni. Dobbiamo dunque dividere il gruppo di lettere scelto per il suo numero di permutazioni. Quindi basta dividere per il numero di permutazioni di 3 lettere. E otteniamo
\[ C_{21,3} = \frac{D_{21,3}}{P_3} \]
Alternativamente se comprendi meglio le combinazioni puoi vedere all'inverso le spiegazioni di combinazioni e disposizioni.
Se ti è chiaro che \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k! } \]
significa scegliere \(k\) oggetti tra \(n\). Allora per ottenere il numero di disposizioni basta moltiplicare il numero di combinazioni per il numero di permutazioni di \(k\) oggetti.
Venendo al tuo problema. Ti si chiede quante squadre da 6 giocatori si formano con 10 giocatori a disposizione, senza che i ruoli abbiano importanza (i.e. l'ordine non ci interessa). Devi, in altre parole, scegliere 6 giocatori tra 10 -> combinazioni
\[ \binom{10}{6} \]
Spero che così ti sia più chiaro quanto segue
Se vuoi esercitarti. Prendi una squadra di calcio ipotetica composta da 6 attaccanti, 9 centrocampisti, 8 difensori e 3 portieri.
Quante formazioni differenti possiamo formare se il modulo scelto è il 4-4-2? E se il modulo scelto fosse il 4-3-3?
Per semplicità in ogni reparto (difesa, centrocampo, attacco), non distinguiamo l'ordine. Nel senso che se Pirlo, Gattuso e Seedorf giocano nel centrocampo a 3, è uguale che se Gattuso, Seedorf e Pirlo giocano nel centro campo a 3.
Permutazioni:
In primo luogo guardiamo le permutazioni. Immagina di prendere tutte le lettere dell'alfabeto italiano, 21 lettere. Vuoi domandarti quante parole di 21 lettere differenti puoi formare. Ovvero ognuna delle 21 lettere può essere messa in una posizione all'interno della parola di 21 lettere. Dobbiamo scegliere la prima lettera della nostra parola, quante lettere possiamo scegliere? In totale 21 lettere differenti. Ne scegli una e la metti in prima posizione! Ora prendi la seconda posizione, quante lettere possiamo scegliere da mettere in seconda posizione? Siccome hai già messo una lettera in una posizione hai solamente 20 lettere ancora a disposizione. Ne scegli una e la metti lì. Prendi la terza posizione e hai 19 lettere "libere", etc.
Quindi il numero di parole distinte di lunghezza 21 con 21 lettere è dato da \[21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot \ldots \cdot 1 = 21! = P_{21} \]
Disposizioni:
Le disposizioni, in un certo senso, sono delle permutazioni di un sottoinsieme. Prendiamo sempre lo stesso esempio di prima, abbiamo 21 lettere. Sta volta ti domandi quante parole di 3 lettere differenti vuoi formare. Come prima dobbiamo scegliere la prima lettera della nostra parola di 3 lettere, quante lettere possiamo scegliere? Esattamente 21 come prima. La scegli e la metti in prima posizione. Ora passi alla seconda posizione Quante lettere hai ancora disponibili? 20. Ne scegli una e la metti in seconda posizione. Ora vogliamo scegliere l'ultima lettera, quante ne hai ha disposizione? 19. La scegli e la piazzi in ultima posizione.
Quindi il numero di parole distinte di lunghezza 3 con 21 lettere a disposizione è dato da
\[ 21 \cdot 20 \cdot 19 = \frac{21!}{(21-3)!} = D_{21,3} \]
Da notare che fino ad ora siccome fissavi una lettera in una posizione precisa distinguevamo l'ordine. Ad esempio le parole TRE e RET sono distinte. Perché per formare la prima parola abbiamo fissato la T, poi la R ed infine la E. Quindi dopo aver fissato la T come seconda lettera non potevamo più scegliere la lettera T. Mentre la seconda parola RET fissiamo la R, ora in seconda posizione possiamo scegliere la T volendo. Quindi ci troviamo in una situazione differente rispetto ad aver fissato prima la T.
Combinazioni:
Le ottieni quando devi scegliere un certo numero di oggetti tra un' altro numero di oggetti a disposizione più grande. Molto semplice. Il coefficiente binomiale si scrive
\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k! } \]
In francese ad esempio si legge "\(k \) parmi \(n\)", che è molto esplicito perché è traducibile con "\(k\) fra \(n\)". Ovvero \(k\) oggetti scelti fra \(n \) oggetti.
Quindi con l'esempio dell'alfabeto. Vogliamo capire in quanti modi possiamo scegliere 3 lettere dell'alfabeto composto da 21 lettere. Usiamo le disposizioni
Come prima scegliamo una parola di 3 lettere. E otteniamo
\[ D_{21,3} = \frac{21!}{(21-3)!} \]
c'è solo un problema. Se fissiamo ad esempio 3 lettere scelte. Come le lettere R,T,E abbiamo contato anche tutte le permutazioni possibili con queste 3 lettere, tant'è che abbiamo la parola RTE, TRE, ETR, etc. Fissate 3 lettere in quanti modi possiamo disporle? Vedi spiegazione sulle permutazioni. Dobbiamo dunque dividere il gruppo di lettere scelto per il suo numero di permutazioni. Quindi basta dividere per il numero di permutazioni di 3 lettere. E otteniamo
\[ C_{21,3} = \frac{D_{21,3}}{P_3} \]
Alternativamente se comprendi meglio le combinazioni puoi vedere all'inverso le spiegazioni di combinazioni e disposizioni.
Se ti è chiaro che \[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)!k! } \]
significa scegliere \(k\) oggetti tra \(n\). Allora per ottenere il numero di disposizioni basta moltiplicare il numero di combinazioni per il numero di permutazioni di \(k\) oggetti.
Venendo al tuo problema. Ti si chiede quante squadre da 6 giocatori si formano con 10 giocatori a disposizione, senza che i ruoli abbiano importanza (i.e. l'ordine non ci interessa). Devi, in altre parole, scegliere 6 giocatori tra 10 -> combinazioni
\[ \binom{10}{6} \]
Spero che così ti sia più chiaro quanto segue
"Dragonlord":
Grazie! Purtroppo non ho studiato alle scuole superiori quest'argomento e faccio tante difficoltà a capire quando si tratta di combinazioni, quando permutazioni, quando disposizioni
Se vuoi esercitarti. Prendi una squadra di calcio ipotetica composta da 6 attaccanti, 9 centrocampisti, 8 difensori e 3 portieri.
Quante formazioni differenti possiamo formare se il modulo scelto è il 4-4-2? E se il modulo scelto fosse il 4-3-3?
Per semplicità in ogni reparto (difesa, centrocampo, attacco), non distinguiamo l'ordine. Nel senso che se Pirlo, Gattuso e Seedorf giocano nel centrocampo a 3, è uguale che se Gattuso, Seedorf e Pirlo giocano nel centro campo a 3.
Grazie mille 3m0o, ottima spiegazione! Per l'esercizio, ci penserò un pò. Ad occhio penso sia un problema di disposizioni. Il problema è che devo scegliere in diversi ruoli, che complica il tutto!^^
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