Calcolo combinatorio
Buonasera a tutti 
Devo risolvere questo problema:
In quanti modi si possono assegnare 20 persone a 4 uffici in modo che in ognuno di essi ce ne siano 5?
La soluzione che ho trovato è un numero altissimo e non avendo la soluzione giusta non so' se quella che ho trovato è esatta oppure no quindi ho questo dubbio, io l'ho risolto in questo modo:
Ho 20 elementi da questi devo prenderne 5 i modi per farlo sono
\(\displaystyle C_{20;5}={20 \choose 5}=\frac{20!}{5!(20-5)!}=\frac{20!}{5!15!}=15504\)
Ho quindi uno dei gruppi di 5 persone da assegnare ai 4 uffici, adesso me ne servono altri 5 diversi e devo prenderli da quelli restanti, quindi
\(\displaystyle C_{15;5}={15 \choose 5}=\frac{15!}{5!(15-5)!}=\frac{15!}{5!10!}=3003\)
Quindi
\(\displaystyle 15504 \cdot 3003=46558512 \)
Questi sono i modi di poter estrarre due gruppi di 5 persone dai 20, adesso devo prendere 5 dai restanti quindi
\(\displaystyle C_{10;5}={10 \choose 5}=\frac{10!}{5!(10-5)!}=\frac{10!}{5!5!}=252 \)
Ho quindi
\(\displaystyle 46558512 \cdot 252=11732745024\)
Modi diversi per poter estrarre tre gruppi di 5 persone dai 20, adesso devo prendere l'ultimo gruppo
\(\displaystyle C_{5;5}={5 \choose 5}=\frac{5!}{5!(5-5)!}=1\)
Quindi in totale ho 11732745024 modi per poter estrarre da 20 persone 4 gruppi di 5, per ognuno di questi modi ho
\(\displaystyle P_4=4!=24 \)
24 modi per poterli distribuire nei 4 uffici, quindi in totale potrò assegnare le 20 persone in gruppi di 5 nei 4 uffici in
\(\displaystyle 11732745024 \cdot 24=281585880576 \mbox{ modi}\)
Il numero è altissimo come si vede, quindi ho questo dubbio, ho risolto bene o si risolve in modo diverso? come?
Grazie in anticipo, saluti!
Devo risolvere questo problema:
In quanti modi si possono assegnare 20 persone a 4 uffici in modo che in ognuno di essi ce ne siano 5?
La soluzione che ho trovato è un numero altissimo e non avendo la soluzione giusta non so' se quella che ho trovato è esatta oppure no quindi ho questo dubbio, io l'ho risolto in questo modo:
Ho 20 elementi da questi devo prenderne 5 i modi per farlo sono
\(\displaystyle C_{20;5}={20 \choose 5}=\frac{20!}{5!(20-5)!}=\frac{20!}{5!15!}=15504\)
Ho quindi uno dei gruppi di 5 persone da assegnare ai 4 uffici, adesso me ne servono altri 5 diversi e devo prenderli da quelli restanti, quindi
\(\displaystyle C_{15;5}={15 \choose 5}=\frac{15!}{5!(15-5)!}=\frac{15!}{5!10!}=3003\)
Quindi
\(\displaystyle 15504 \cdot 3003=46558512 \)
Questi sono i modi di poter estrarre due gruppi di 5 persone dai 20, adesso devo prendere 5 dai restanti quindi
\(\displaystyle C_{10;5}={10 \choose 5}=\frac{10!}{5!(10-5)!}=\frac{10!}{5!5!}=252 \)
Ho quindi
\(\displaystyle 46558512 \cdot 252=11732745024\)
Modi diversi per poter estrarre tre gruppi di 5 persone dai 20, adesso devo prendere l'ultimo gruppo
\(\displaystyle C_{5;5}={5 \choose 5}=\frac{5!}{5!(5-5)!}=1\)
Quindi in totale ho 11732745024 modi per poter estrarre da 20 persone 4 gruppi di 5, per ognuno di questi modi ho
\(\displaystyle P_4=4!=24 \)
24 modi per poterli distribuire nei 4 uffici, quindi in totale potrò assegnare le 20 persone in gruppi di 5 nei 4 uffici in
\(\displaystyle 11732745024 \cdot 24=281585880576 \mbox{ modi}\)
Il numero è altissimo come si vede, quindi ho questo dubbio, ho risolto bene o si risolve in modo diverso? come?
Grazie in anticipo, saluti!
Risposte
Non ho controllato i calcoli aritmetici, ma il ragionamento e quelli con i fattoriali sono giusti; ho notato che moltiplicando fra loro le varie formule ci sono alcune semplificazioni, al termine delle quali la soluzione resta scritta come
$(20!)/(5!)^4$
A conferma di questo risultato, ci arrivo con un altro ragionamento. Metto in fila indiana le persone, e questo può essere fatto in $20!$ modi; mando poi in un ufficio le prime 5, in un altro le 5 successive, eccetera. Poiché l'ordine con cui le persone sono mandate nello stesso ufficio non ha importanza, per ognuno dei 4 uffici devo dividere per le possibili permutazioni delle 5 persone: in tutto quindi divido per $(5!)^4$
$(20!)/(5!)^4$
A conferma di questo risultato, ci arrivo con un altro ragionamento. Metto in fila indiana le persone, e questo può essere fatto in $20!$ modi; mando poi in un ufficio le prime 5, in un altro le 5 successive, eccetera. Poiché l'ordine con cui le persone sono mandate nello stesso ufficio non ha importanza, per ognuno dei 4 uffici devo dividere per le possibili permutazioni delle 5 persone: in tutto quindi divido per $(5!)^4$
Ciao giammaria, grazie della risposta
Nel tuo ragionamento non è incluso il fatto che poi occorre moltiplicare quel risultato per $24$?
Ho un'altra domanda riguardo alle permutazioni con ripetizione:
Perché per ottenere il numero di permutazioni con ripetizione possibili si divide per il prodotto dei fattoriali degli elementi ripetuti?
Ah poi dato che sto studiando un po' il calcolo delle probabilità potrei avere dei problemi anche con quello, posso aggiungere in questo post o devo aprirne un'altro in caso di eventuali problemi?
Nel tuo ragionamento non è incluso il fatto che poi occorre moltiplicare quel risultato per $24$?
Ho un'altra domanda riguardo alle permutazioni con ripetizione:
Perché per ottenere il numero di permutazioni con ripetizione possibili si divide per il prodotto dei fattoriali degli elementi ripetuti?
Ah poi dato che sto studiando un po' il calcolo delle probabilità potrei avere dei problemi anche con quello, posso aggiungere in questo post o devo aprirne un'altro in caso di eventuali problemi?
Ho ritenuto che i 4 uffici fossero uguali fra loro e quindi fosse privo di interesse sapere a quale si è assegnati; in caso contrario hai ragione, occorre moltiplicare per 24.
Per le permutazioni con ripetizione, la dimostrazione dovresti trovarla sia sui libri che su internet. Dà un'occhiata; se non la trovi o se ti sembra incomprensibile, ripeti la domanda.
Hai usato il titolo "Calcolo combinatorio" e quindi puoi senz'altro mettere qui altri problemi che rispecchiano quel titolo. Il calcolo delle probabilità non è proprio la stessa cosa; vedi tu se il problema è abbastanza prossimo al titolo.
Per le permutazioni con ripetizione, la dimostrazione dovresti trovarla sia sui libri che su internet. Dà un'occhiata; se non la trovi o se ti sembra incomprensibile, ripeti la domanda.
Hai usato il titolo "Calcolo combinatorio" e quindi puoi senz'altro mettere qui altri problemi che rispecchiano quel titolo. Il calcolo delle probabilità non è proprio la stessa cosa; vedi tu se il problema è abbastanza prossimo al titolo.
Ehi ci sono riuscito da solo con le permutazioni con ripetizioni, ed è stato anche molto facile.
Comunque per ora sono riuscito a risolvere tutti gli esercizi con il calcolo delle probabilità sperando di continuare così
, in ogni caso ti ringrazio mille per l'aiuto sei un grande
Comunque per ora sono riuscito a risolvere tutti gli esercizi con il calcolo delle probabilità sperando di continuare così
, in ogni caso ti ringrazio mille per l'aiuto sei un grande
Sono riuscito a risolvere con le permutazioni adesso però ho un problema con le combinazioni con ripetizione, sto seguendo la "prima dimostrazione" di wikipedia e dice che:
Se considero un insieme di $n$ elementi diversi ad esso posso associare un'insieme di cardinalità uguale contenente una successione di numeri naturali ${1,2,3,\cdots,n}$, le combinazioni con ripetizione di classe $k$ dell'insieme sono tutti i sottoinsiemi di cardinalità $k$ individuabili dall'insieme dei numeri.
A questo punto considera $k$ elementi qualsiasi:
\(\displaystyle m_1,m_2,m_3,\cdots,m_k \)
E dice che per sommando all $m_i$-esimo elemento il valore $i-1$ si ottiene una nuova configurazione con elementi diversi, cioè
\(\displaystyle m_1,m_2+1,m_3+2,m_k+k-1 \)
Questa configurazione è un sottoinsieme dell'insieme ${1,2,3, \cdots, n+k-1}$, pongo una domandina di conferma:
L'elemento $n+k-1$ viene fuori dal fatto che se $m_k=n$ allora la nuova configurazione apparterrà all'insieme con cardinalità $m_k+k-1=n+k-1$?
Poi dice che prendendo tutte le nuove configurazioni si ottengono sempre elementi diversi tra loro, e cioè si ottengono le combinazioni semplici di $n+k-1$ elementi di classe $k$ che essendo derivate da tutte le combinazioni con ripetizione degli $n$ oggetti sempre di classe $k$ il valore è uguale, cioè
\(\displaystyle C_{n;k}^*=C_{n+k-1;k} \)
Il ragionamento fatto è giusto? Ho capito bene?
Poi dovrei dimostrare che effettivamente la nuova combinazione ci restituisce tutti elementi diversi, questo lo posso fare considerando le disposizioni con ripetizione: togliendo l'ordine potrò scegliere una delle disposizioni di elementi uguali, quindi ogni sottoinsieme dell'insieme di partendo sarà un sottoinsieme delle disposizioni con ripetizione dello stesso insieme e della stessa classe, pertanto se la nuova configurazione avrà elementi uguali allora posso prendere un'altra dalle disposizioni invece che questa ed ottenere elementi diversi nella nuova relativa configurazione.
Cioè se ad esempio considero le due disposizioni con ripetizione $2,1,1$ e $1,1,2$ per le combinazioni con ripetizione potrò scegliere una sola delle due, quindi scegliendo la prima ho che la nuova combinazione sarà
\(\displaystyle 2,1+1,1+2=2,2,1 \)
Che ha elementi uguali, quindi scelgo la seconda
\(\displaystyle 1,1+1,2+2=1,2,4 \)
Che invece ha elementi diversi.
In generale si può affermare che le nuove combinazioni possono essere considerate tutte con elementi diversi da questa dimostrazione?
Se considero un insieme di $n$ elementi diversi ad esso posso associare un'insieme di cardinalità uguale contenente una successione di numeri naturali ${1,2,3,\cdots,n}$, le combinazioni con ripetizione di classe $k$ dell'insieme sono tutti i sottoinsiemi di cardinalità $k$ individuabili dall'insieme dei numeri.
A questo punto considera $k$ elementi qualsiasi:
\(\displaystyle m_1,m_2,m_3,\cdots,m_k \)
E dice che per sommando all $m_i$-esimo elemento il valore $i-1$ si ottiene una nuova configurazione con elementi diversi, cioè
\(\displaystyle m_1,m_2+1,m_3+2,m_k+k-1 \)
Questa configurazione è un sottoinsieme dell'insieme ${1,2,3, \cdots, n+k-1}$, pongo una domandina di conferma:
L'elemento $n+k-1$ viene fuori dal fatto che se $m_k=n$ allora la nuova configurazione apparterrà all'insieme con cardinalità $m_k+k-1=n+k-1$?
Poi dice che prendendo tutte le nuove configurazioni si ottengono sempre elementi diversi tra loro, e cioè si ottengono le combinazioni semplici di $n+k-1$ elementi di classe $k$ che essendo derivate da tutte le combinazioni con ripetizione degli $n$ oggetti sempre di classe $k$ il valore è uguale, cioè
\(\displaystyle C_{n;k}^*=C_{n+k-1;k} \)
Il ragionamento fatto è giusto? Ho capito bene?
Poi dovrei dimostrare che effettivamente la nuova combinazione ci restituisce tutti elementi diversi, questo lo posso fare considerando le disposizioni con ripetizione: togliendo l'ordine potrò scegliere una delle disposizioni di elementi uguali, quindi ogni sottoinsieme dell'insieme di partendo sarà un sottoinsieme delle disposizioni con ripetizione dello stesso insieme e della stessa classe, pertanto se la nuova configurazione avrà elementi uguali allora posso prendere un'altra dalle disposizioni invece che questa ed ottenere elementi diversi nella nuova relativa configurazione.
Cioè se ad esempio considero le due disposizioni con ripetizione $2,1,1$ e $1,1,2$ per le combinazioni con ripetizione potrò scegliere una sola delle due, quindi scegliendo la prima ho che la nuova combinazione sarà
\(\displaystyle 2,1+1,1+2=2,2,1 \)
Che ha elementi uguali, quindi scelgo la seconda
\(\displaystyle 1,1+1,2+2=1,2,4 \)
Che invece ha elementi diversi.
In generale si può affermare che le nuove combinazioni possono essere considerate tutte con elementi diversi da questa dimostrazione?
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