Calcolo asintoto obliquo funzione esponenziale

[cloe009]

Ciao a tutti,

ho la seguente funzione:
$(x-2)*e^(-1/x)$

dominio: $\AA in RR - {0}$

ho difficoltà nel calcolare la $q$ dell'asintoto obliquo:
data l'equazione della retta:
$y=mx+q$
$m=lim_(x->\oo)((x-2)*e^(-1/x))/x$
$\Rightarrow lim_(x->oo) (x*e^(-1/x)-2e^(-1/x))/(x)$
divido tutto per x
$\Rightarrow lim_(x->oo) e^(-1/x) - (2e^(-1/x))/(x)$
$\Rightarrow 1-2/oo=1$

e penso sia giusto:
ora calcolo la $q$
la formula per calcolare la $q$ è
$lim_(x->oo)(f(x)-mx)$

quindi dovrò ottenere:
$q=lim_(x->+oo)((x-2)*e^(-1/x)-x) = oo - oo$
moltiplico e poi divido per $x$
$\Rightarrow lim_(x->+oo)(x*e^(-1/x)-2e^(-1/x)-x)$
$\Rightarrow lim_(x->+oo)(e^(-1/x)-((2e^(-1/x))/(x))-1) = 1-0-1 = 0$

è giusto?
ho provato con dei calcolatori on line che ho trovato in rete e mi da come risultato $-3$
come è possibile?
se l'errore c'è dove sbaglio?

spero possiate cortesemente aiutarmi
mille grazie davvero!!

[Paolo902]

Sinceramente, non ho capito bene che cosa hai fatto qui:

"cloe009":
moltiplico e poi divido per $x$
$\Rightarrow lim_(x->+oo)(x*e^(-1/x)-2e^(-1/x)-x)$
$\Rightarrow lim_(x->+oo)(e^(-1/x)-((2e^(-1/x))/(x))-1) = 1-0-1 = 0$

Sei sicura?

[*v.tondi]

$q=lim_(x->+oo)((x-2)*e^(-1/x)-x) = oo - oo$
moltiplico e poi divido per $x$
$\Rightarrow lim_(x->+oo)(x*e^(-1/x)-2e^(-1/x)-x)$
$\Rightarrow lim_(x->+oo)(e^(-1/x)-((2e^(-1/x))/(x))-1) = 1-0-1 = 0$

Ciao, prova a fare così:
$q=lim_(x->+oo)((x-2)*e^(-1/x)-x)
$q=lim_(x->+oo)(x*e^(-1/x)-2*e^(-1/x)-x)
$q=lim_(x->+oo)(x*(e^(-1/x)-1)-2*e^(-1/x))
$q=lim_(x->+oo)((e^(-1/x)-1)/(1/x)-2*e^(-1/x))
$q=lim_(x->+oo)((e^(-1/x)-1)/(1/x)) - lim_(x->+oo)(2*e^(-1/x))
A questo punto è facile risolvere il limite finale perchè:
$lim_(x->+oo)((e^(-1/x)-1)/(1/x))=-1$
$lim_(x->+oo)(2*e^(-1/x))=2$
Quindi:
$q=lim_(x->+oo)((e^(-1/x)-1)/(1/x)) - lim_(x->+oo)(2*e^(-1/x))=-1-2=-3

Ciao

[cloe009]

chiedo scusa,
ma ancora mi è poco chiaro.

per quale motivo ottieni $-1$ nella seguente?
$lim_(x->+oo)((e^(-1/x)-1)/(1/x))=-1$

se $x$ tende a infinito al denominatore non si dovrebbe ottenere $1/oo=0$?
e lo stesso al numeratore dove $e^(1/oo)=e^0=1$?

non è la stessa considerazione fatta nel secondo limite? :
$lim_(x->+oo)(2*e^(-1/x))=2$
dove $e^(1/oo) = e^0=1$ e poi lo si moltiplica per $2$?

[piero_1]

"cloe009":
per quale motivo ottieni $-1$ nella seguente?
$lim_(x->+oo)((e^(-1/x)-1)/(1/x))=-1$

lo puoi calcolare col limite notevole
$lim_(t->o)(e^t-1)/t=1"
avendo sostituito $1/x=t$ per $x->+infty $; $t->0$

p.s.
@v.tondi
benvenut* nel forum

[cloe009]

a quanto ho capito v.tondi ha utilizzato il suddetto limite notevole...
senza limite notevole non si può calcolare?

[piero_1]

con la regola di de l'Hôpital, o con il confronto di infinitesimi; ma il più diretto è il limite notevole.

[Raptorista1]

$lim_(x->+oo)((e^(f(x))-1)/(f(x)))=1$ è un limite notevole. In questo caso $f(x) = 1/x$ e il denominatore è $-1*f(x)$, quindi usa la regola del limite del prodotto ed ottieni -1

[cloe009]

quindi tramite de l'Hopital, iin questo modo:
$lim_(x->oo) (e^(-1/x)*1/(x^2))/(-1/(x^2))$
semplifico $1/(x^2)$ al numeratore con quello al denominatore
e ottengo $-1$

[piero_1]

ok

[cloe009]

i soli limiti notevoli che conosco sono $lim_(x->0) sinx/x = 1$ e $lim_(x->oo)(1+1/x)^x=e$
non credo che tramite questi possa trarne qualcosa.....

[*v.tondi]

"cloe009":chiedo scusa,
ma ancora mi è poco chiaro.

per quale motivo ottieni $-1$ nella seguente?
$lim_(x->+oo)((e^(-1/x)-1)/(1/x))=-1$

se $x$ tende a infinito al denominatore non si dovrebbe ottenere $1/oo=0$?
e lo stesso al numeratore dove $e^(1/oo)=e^0=1$?

non è la stessa considerazione fatta nel secondo limite? :
$lim_(x->+oo)(2*e^(-1/x))=2$
dove $e^(1/oo) = e^0=1$ e poi lo si moltiplica per $2$?

Ciao, si scusate effettivamente mi sono dimenticato di mostrarvi i passaggi per il calcolo della prima parte del limite in quanto la seconda è molto più agevole ai fini del calcolo. Procediamo:
se $-1/x=y$ quindi se $x->+oo$ $y->0$ effettuando il cambio di variabile ottengo:
$lim_(x->+oo)((e^(-1/x)-1)/(1/x))=-lim_(y->0)((e^(y)-1)/(y))=-1$ in quanto il limite notevole fa $1$ che moltiplicato per il $-$ prima del limite mi fa ottenere $-1$. Adesso è chiaro? Ciao.