Calcolo aree integrali definiti
Bongiorno, non riesco a svolgere questo problema:
"Calcola l'area della regione finita di piano compresa tra le parabole di equazioni $y=x^2$ e $y=x^2-6x+6$ e la bisettrice del secondo e terzo quadrante"
Io ho tracciato il grafico e ho anche trovato dove le funzioni si intersecano, solo che non so quali sono gli estremi per calcolare l'area e anche come fare.
grazie dell'aiuto
"Calcola l'area della regione finita di piano compresa tra le parabole di equazioni $y=x^2$ e $y=x^2-6x+6$ e la bisettrice del secondo e terzo quadrante"
Io ho tracciato il grafico e ho anche trovato dove le funzioni si intersecano, solo che non so quali sono gli estremi per calcolare l'area e anche come fare.
grazie dell'aiuto
Risposte
Potresti disegnare la bisettrice, numerando anche i quadranti?
Grazie.
Grazie.
La bisettrice è $y=-x$.
Devi impostare due semplici integrali. Cominciamo da questo:
L'area cercata è racchiusa fra $y=-x$ e $y=x^2$.
Come procederesti?
L'area cercata è racchiusa fra $y=-x$ e $y=x^2$.
Come procederesti?
scusi ma non dovrei calcolare l'area compresa tra le due parabole e la bisettrice?
Hai perfettamente ragione, ho letto male.
Quindi dobbiamo spezzare le aree/integrali da calcolare: come faresti?
Quindi dobbiamo spezzare le aree/integrali da calcolare: come faresti?
io ho pensato di calcolare 3 aree e poi sommarle.
la prima è l'area di $y = x^2$ compresa tra 0 e 1, ho scelto 1 perchè è dove si interseca con la funzione $y=x^2-6x+6$.
la seconda è l'area di $y=x^2-6x+6$ compresa tra 1 e 3-sqrt(3) che è dove la parabola interseca l'asse x.
la terza ho fatto l'area della bisettrice meno quella della parabola $y=x^2-6x+6$, tutto compreso tra 0 e 2 che è dove parabola e retta si intersecano.
solo che il risultato mi esce sbagliato
la prima è l'area di $y = x^2$ compresa tra 0 e 1, ho scelto 1 perchè è dove si interseca con la funzione $y=x^2-6x+6$.
la seconda è l'area di $y=x^2-6x+6$ compresa tra 1 e 3-sqrt(3) che è dove la parabola interseca l'asse x.
la terza ho fatto l'area della bisettrice meno quella della parabola $y=x^2-6x+6$, tutto compreso tra 0 e 2 che è dove parabola e retta si intersecano.
solo che il risultato mi esce sbagliato
Ok il piano c'è ma stai sbagliando le somme.
Ricorda sempre che l'integrale di un'area che sta sotto l'asse delle y è negativo, quindi dobbiamo tenerne conto.
La strategia che volevi impiegare va corretta. Vogliamo trovare A+B+C
A+B sopra
C=(C+D)-D sotto (il cui totale però andrà cambiato di segno)
Ma a questo punto allora conviene semplificare il tutto.
Calcoliamo $int_0^1 x^2dx$ =A
Ci sommiamo l'area del triangolone cambiata di segno, ovvero $-int_0^2 -xdx$ =(C+D)
E infine calcoliamo $int_1^2 (x^2-6x+6)dx$. Perchè? Perchè questo integrale automaticamente calcola B-D.
Quindi A+C+D+B-D=A+B+C
Ricorda sempre che l'integrale di un'area che sta sotto l'asse delle y è negativo, quindi dobbiamo tenerne conto.
La strategia che volevi impiegare va corretta. Vogliamo trovare A+B+C
A+B sopra
C=(C+D)-D sotto (il cui totale però andrà cambiato di segno)
Ma a questo punto allora conviene semplificare il tutto.
Calcoliamo $int_0^1 x^2dx$ =A
Ci sommiamo l'area del triangolone cambiata di segno, ovvero $-int_0^2 -xdx$ =(C+D)
E infine calcoliamo $int_1^2 (x^2-6x+6)dx$. Perchè? Perchè questo integrale automaticamente calcola B-D.
Quindi A+C+D+B-D=A+B+C
capito, grazie mille
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