Calcolo area massima
Ciao!
Problema di secondo superiore sul quale sono incastrato da ieri sera.
Viene dato un triangolo isoscele ABC di base AB lunga 12, lati obliqui BC e CA lunghi 10 e altezza AH lunga 8. Viene tracciato un segmento DE parallelo alla base AB.
Calcolare la lunghezza di DE tale che l'area del triangolo DEH sia massima (D ed E appartenenti ai lati obliqui, ovviamente).
N.B.: essendo secondo superiore, NON si possono usare trigonometria, derivate e altri argomenti degli anni successivi!
La risoluzione dovrebbe passare per la determinazione di una certa x dalla quale ricavare un'equazione di parabola y= -ax^2+bx+c nella quale y rappresenta l'area.
Ho problemi ad identificare la giusta x in pratica...
Grazie!
Problema di secondo superiore sul quale sono incastrato da ieri sera.
Viene dato un triangolo isoscele ABC di base AB lunga 12, lati obliqui BC e CA lunghi 10 e altezza AH lunga 8. Viene tracciato un segmento DE parallelo alla base AB.
Calcolare la lunghezza di DE tale che l'area del triangolo DEH sia massima (D ed E appartenenti ai lati obliqui, ovviamente).
N.B.: essendo secondo superiore, NON si possono usare trigonometria, derivate e altri argomenti degli anni successivi!
La risoluzione dovrebbe passare per la determinazione di una certa x dalla quale ricavare un'equazione di parabola y= -ax^2+bx+c nella quale y rappresenta l'area.
Ho problemi ad identificare la giusta x in pratica...
Grazie!
Risposte
Le scelte ricadono o sulla lunghezza di $DE$ oppure sulla lunghezza dell'altezza $HK$ del triangolo $DHE$ relativa alla base $DE$... Prova.
Allora...
Pongo DE = x.
Siccome DE è parallelo alla base, vale la proporzione AB:DE=CH:CK. Quindi CK = CH*x/AB = (8/12)*x = (3/4)x.
Il triangolo DEH ha altezza HK pari a CH-CK, quindi HK = 8 - (3/4)x.
A questo punto calcolo l'area: y = [x * (8 - (3/4)x)] / 2 e ottengo y = -(3/8)x^2 + 4x.
Si ha l'area massima ymax = yvertice per x = xvertice; quindi xv = -b/2a = -4 / -(3/4) = 16/3.
Il risultato dovrebbe però venire 6.
Cosa ho sbagliato?
Pongo DE = x.
Siccome DE è parallelo alla base, vale la proporzione AB:DE=CH:CK. Quindi CK = CH*x/AB = (8/12)*x = (3/4)x.
Il triangolo DEH ha altezza HK pari a CH-CK, quindi HK = 8 - (3/4)x.
A questo punto calcolo l'area: y = [x * (8 - (3/4)x)] / 2 e ottengo y = -(3/8)x^2 + 4x.
Si ha l'area massima ymax = yvertice per x = xvertice; quindi xv = -b/2a = -4 / -(3/4) = 16/3.
Il risultato dovrebbe però venire 6.
Cosa ho sbagliato?
Mmmm... "Ad occhio", cioè senza far conti, direi che sono sbagliati sia il tuo che quello del testo.
Credo l'area massima sia $12$, cioè $1/4$ dell'area del triangolo grande, presa nella situazione "più simmetrica possibile", cioè quando $DE=1/2 AB$ è la congiungente dei punti medi dei lati obliqui.
Tra un po' vedo di fare i conti... Intanto, ricontrolla i tuoi.
Ah, una cosa: ma l'altezza assegnata è davvero $AH$ relativa al lato obliquo $BC$?
Io l'avevo preso come un errore di battitura, ma meglio chiedere...
Credo l'area massima sia $12$, cioè $1/4$ dell'area del triangolo grande, presa nella situazione "più simmetrica possibile", cioè quando $DE=1/2 AB$ è la congiungente dei punti medi dei lati obliqui.
Tra un po' vedo di fare i conti... Intanto, ricontrolla i tuoi.
Ah, una cosa: ma l'altezza assegnata è davvero $AH$ relativa al lato obliquo $BC$?
Io l'avevo preso come un errore di battitura, ma meglio chiedere...
Cosa ho sbagliato?
1. a scrivere che l'altezza di 8 cm sia AH, mentre è CH a misurare 8 cm, lo dice il teorema di Pitagora
2: $8/12=2/3$ e non $3/4$
"gugo82":
Ah, una cosa: ma l'altezza assegnata è davvero $AH$ relativa al lato obliquo $BC$?
Io l'avevo preso come un errore di battitura, ma meglio chiedere...
Ho scritto male perché il testo era nel libro e l'ho riscritto a memoria,era ovviamente CH, relativa alla base assegnata AB.
"@melia":Cosa ho sbagliato?2: $8/12=2/3$ e non $3/4$
...e infatti porta!
Incredibile,ho fatto e rifatto i conti,sono diventato scemo, e poi c'era ancora un problema così stupido...
In ogni caso, adesso ci siamo, il risultato corretto è 6 cm.
Grazie a tutti per l'aiuto!
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