Calcolare sen o cos di 70
Salve, come posso calcolare sen o cos di 70 senza calcolatrice?
Risposte
Un metodo è quello di valutare il polinomio di Taylor di ordine 3 del coseno centrato in $\pi/3$, si ha:
$1/2-sqrt(3)/2(x-\pi/3)-1/4(x-\pi/3)^2+sqrt(3)/12(x-\pi/3)^3+o((x-\pi/3)^4)$
adesso se calcoliamo per $x=\pi/18+\pi/3$, che è il corrispondente in radianti dell'angolo da te citato si ottiene:
$1/2-sqrt(3)/2(\pi/18)-1/4(\pi/18)^2+sqrt(3)/12(\pi/18)^3$
che è il valore cercato.
Puoi verificare con il calcolatore che
$cos(\pi/18+\pi/3) ~~ 0.3420201 $
mentre con il polinomio di Taylor si ottiene $0.342017$.
Saluti
$1/2-sqrt(3)/2(x-\pi/3)-1/4(x-\pi/3)^2+sqrt(3)/12(x-\pi/3)^3+o((x-\pi/3)^4)$
adesso se calcoliamo per $x=\pi/18+\pi/3$, che è il corrispondente in radianti dell'angolo da te citato si ottiene:
$1/2-sqrt(3)/2(\pi/18)-1/4(\pi/18)^2+sqrt(3)/12(\pi/18)^3$
che è il valore cercato.
Puoi verificare con il calcolatore che
$cos(\pi/18+\pi/3) ~~ 0.3420201 $
mentre con il polinomio di Taylor si ottiene $0.342017$.
Saluti
Il mio prof non mi ha fatto fare il polinomio di Taylor. Non c'è un altro metodo? Domani ci sarà compito e vuole che non utilizziamo le calcolatrici...
Se chiami $a=70$ allora hai $cos(3a-30) = cos(180) = -1$, forse ne esce qualcosa con qualche formula della somma o quelle strane di Prostaferesi.
Il professore non ci ha fatto fare neanche quelle di prostaferesi e prende che noi li facciamo lo stesso. Grazie per le informazioni.
Ciao scusa se ti rispondo adesso, il problema è che in questi casi o riesci a ricondurti a una combinazione lineare di angoli notevoli (e con combinazione intendo somma e prodotto in modo tale da poter usare formule di addizione, bisezione eccetera), oppure fai affidamento a questo tipo di approssimazione. Poi magari sono solo io stanco e non riesco a trovare una soluzione alternativa
Ho trovato un metodo per fare un'approssimazione, mi sembrava giusto condividerlo!
Siamo nel primo quadrante del piano cartesiano: sappiamo che la retta $y=x$ è quella che forma con gli assi un angolo di 45 gradi, la retta $x=0$, ovvero l'asse delle ordinate, un angolo di 90 gradi. Possiamo scrivere l'equazione della bisettrice dell'angolo formato da queste due rette facendo semplici conti:
Se in generale si scrive, date due rette $r:ax+by+c=0$ e $s:Ax+By+C=0$,
$\frac{ax+by+c}{sqrt(a^2+b^2)}=+-\frac{Ax+By+c}{A^2+B^2}$
nel nostro caso si riduce a
$x=+-\frac{y-x}{sqrt(2)}$ ovvero, se scartiamo la soluzione che non ci interessa
$y=(sqrt(2)+1)x$. Questa è la retta che forma con l'asse delle ascisse un angolo di 67,5 gradi.
Preso $x_1=1$ si ha $y_1=sqrt(2)+1$ e $P_1(x_1,y_1)$ si ha $P_1O=sqrt(1+(sqrt(2)+1)^2)=sqrt(2(2+sqrt(2)))$
da questo possiamo dire che $cos(67,5)=1/sqrt(2(2+sqrt(2)))$
Ripetiamo il procedimento per le rette $x=0$ e $y=sqrt(3)x$, quest'ultima è quella che forma un angolo di 60 gradi con l'asse delle ascisse. Senza perdere troppo tempo si trova che in questo caso la bisettrice è
$y=(2+sqrt(3))x$. Seguendo una strada analoga si trova $P_2(x_2,y_2)$ con $x_2=1$ e $y_2=sqrt(3)+2$, $P_2O=2sqrt(2+sqrt(3))$ e quindi $cos(75)=1/(2sqrt(2+sqrt(3)))$.
Volendo possiamo fermarci e scrivere:
$1/(2sqrt(2+sqrt(3))) < cos(70) < 1/sqrt(2(2+sqrt(2)))$
Oppure volendo si puo andare avanti con le bisettrici e trovare la retta che forma un angolo di 71.25 e cosi via ma possiamo anche prendere il punto medio tra $y_1$ e $y_2$, che è $y_3=1/2(sqrt(2)+sqrt(3)+3)$ e calcolare $P_3O$ che vale, dopo un po' di calcoli, $1/2(18+2(sqrt(6)+3sqrt(3)+3sqrt(2)))$
Allora possiamo anche approssimare dicendo
$cos(70)~~2/(18+2(sqrt(6)+3sqrt(3)+3sqrt(2)))$.
Saluti
Siamo nel primo quadrante del piano cartesiano: sappiamo che la retta $y=x$ è quella che forma con gli assi un angolo di 45 gradi, la retta $x=0$, ovvero l'asse delle ordinate, un angolo di 90 gradi. Possiamo scrivere l'equazione della bisettrice dell'angolo formato da queste due rette facendo semplici conti:
Se in generale si scrive, date due rette $r:ax+by+c=0$ e $s:Ax+By+C=0$,
$\frac{ax+by+c}{sqrt(a^2+b^2)}=+-\frac{Ax+By+c}{A^2+B^2}$
nel nostro caso si riduce a
$x=+-\frac{y-x}{sqrt(2)}$ ovvero, se scartiamo la soluzione che non ci interessa
$y=(sqrt(2)+1)x$. Questa è la retta che forma con l'asse delle ascisse un angolo di 67,5 gradi.
Preso $x_1=1$ si ha $y_1=sqrt(2)+1$ e $P_1(x_1,y_1)$ si ha $P_1O=sqrt(1+(sqrt(2)+1)^2)=sqrt(2(2+sqrt(2)))$
da questo possiamo dire che $cos(67,5)=1/sqrt(2(2+sqrt(2)))$
Ripetiamo il procedimento per le rette $x=0$ e $y=sqrt(3)x$, quest'ultima è quella che forma un angolo di 60 gradi con l'asse delle ascisse. Senza perdere troppo tempo si trova che in questo caso la bisettrice è
$y=(2+sqrt(3))x$. Seguendo una strada analoga si trova $P_2(x_2,y_2)$ con $x_2=1$ e $y_2=sqrt(3)+2$, $P_2O=2sqrt(2+sqrt(3))$ e quindi $cos(75)=1/(2sqrt(2+sqrt(3)))$.
Volendo possiamo fermarci e scrivere:
$1/(2sqrt(2+sqrt(3))) < cos(70) < 1/sqrt(2(2+sqrt(2)))$
Oppure volendo si puo andare avanti con le bisettrici e trovare la retta che forma un angolo di 71.25 e cosi via ma possiamo anche prendere il punto medio tra $y_1$ e $y_2$, che è $y_3=1/2(sqrt(2)+sqrt(3)+3)$ e calcolare $P_3O$ che vale, dopo un po' di calcoli, $1/2(18+2(sqrt(6)+3sqrt(3)+3sqrt(2)))$
Allora possiamo anche approssimare dicendo
$cos(70)~~2/(18+2(sqrt(6)+3sqrt(3)+3sqrt(2)))$.
Saluti
Grazie mille per la risposta e la disponibilità!
[xdom="vict85"]Sposto in secondaria di secondo grado.[/xdom]
io l'ho approssimato in questa maniera, ti bastano solo:
formule di: addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione
$cos(70)=cos(60+10)=1/2cos10-sqrt3/2sin10$
ora il ragionamento che puoi fare è il seguente:
consideri $cos10=cos(20/2)=sqrt((1+cos20)/2)$ a sua volta
$cos(20)=cos(40/2)=sqrt((1+cos40)/2)=sqrt((1+cos(45-5)))=sqrt((1+sqrt2/2cos5+sqrt2/2sin5)/2)$
andando a sostituire $cos20$ ottieni..
$cos10=sqrt(1/2+sqrt((1+sqrt2/2cos5+sqrt2/2sin5)/2)/2)$
lo stesso per il $sen$ cambierà solo un meno..
$sin10=sqrt(1/2-sqrt((1+sqrt2/2cos5+sqrt2/2sin5)/2)/2)$
ora seno e coseno di $5$ puoi cercare di approssimarli bene.
disegni una circonferenza di raggio $10$ sul quaderno, tracci un angolo di $5°$ misuri i cateti del triangolo formato con l'asse $x$ e dividi per $10$ il risultato.
verranno $cos5approx0,98$ quindi puoi approssimarlo a $1$
e $sin5approx0.09$ puoi approssimarlo a $1/10$, tornando alle nostre cose..
$sin10=sqrt(1/2-sqrt((1+sqrt2/2+sqrt2/20)/2)/2)$
$cos10=sqrt(1/2+sqrt((1+sqrt2/2+sqrt2/20)/2)/2)$
ed infine..
$cos(70)=1/2*sqrt(1/2+sqrt((1+sqrt2/2+sqrt2/20)/2)/2)-sqrt3/2*sqrt(1/2-sqrt((1+sqrt2/2+sqrt2/20)/2)/2)approx0,346$
mentre con la calcolatrice $cos(70)approx0,342$
naturalmente se al posto di considerare $sin5approx1$ considerassi $sin5approx0,98(=49/50)$
$cos(70)=1/2*sqrt(1/2+sqrt((1+49sqrt2/100+sqrt2/20)/2)/2)-sqrt3/2*sqrt(1/2-sqrt((1+49sqrt2/100+sqrt2/20)/2)/2)approx0,341$
formule di: addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione
$cos(70)=cos(60+10)=1/2cos10-sqrt3/2sin10$
ora il ragionamento che puoi fare è il seguente:
consideri $cos10=cos(20/2)=sqrt((1+cos20)/2)$ a sua volta
$cos(20)=cos(40/2)=sqrt((1+cos40)/2)=sqrt((1+cos(45-5)))=sqrt((1+sqrt2/2cos5+sqrt2/2sin5)/2)$
andando a sostituire $cos20$ ottieni..
$cos10=sqrt(1/2+sqrt((1+sqrt2/2cos5+sqrt2/2sin5)/2)/2)$
lo stesso per il $sen$ cambierà solo un meno..
$sin10=sqrt(1/2-sqrt((1+sqrt2/2cos5+sqrt2/2sin5)/2)/2)$
ora seno e coseno di $5$ puoi cercare di approssimarli bene.
disegni una circonferenza di raggio $10$ sul quaderno, tracci un angolo di $5°$ misuri i cateti del triangolo formato con l'asse $x$ e dividi per $10$ il risultato.
verranno $cos5approx0,98$ quindi puoi approssimarlo a $1$
e $sin5approx0.09$ puoi approssimarlo a $1/10$, tornando alle nostre cose..
$sin10=sqrt(1/2-sqrt((1+sqrt2/2+sqrt2/20)/2)/2)$
$cos10=sqrt(1/2+sqrt((1+sqrt2/2+sqrt2/20)/2)/2)$
ed infine..
$cos(70)=1/2*sqrt(1/2+sqrt((1+sqrt2/2+sqrt2/20)/2)/2)-sqrt3/2*sqrt(1/2-sqrt((1+sqrt2/2+sqrt2/20)/2)/2)approx0,346$
mentre con la calcolatrice $cos(70)approx0,342$
naturalmente se al posto di considerare $sin5approx1$ considerassi $sin5approx0,98(=49/50)$
$cos(70)=1/2*sqrt(1/2+sqrt((1+49sqrt2/100+sqrt2/20)/2)/2)-sqrt3/2*sqrt(1/2-sqrt((1+49sqrt2/100+sqrt2/20)/2)/2)approx0,341$
Cioè, fammi capire, per NON disegnare un angolo di $70°$, gliene fai disegnare uno da $5°$ ? 
si approssima meglio 
al limite considera $cos5approx1$, $sin5approx0$, ottenendo $cos(70)approx0,321$
in realtà si potrebbe approssimare sempre meglio, considerando le uguaglianze, diminuendo sempre di più l'errore di approssimazione di $sin5,cos5$ però poi verrebbe un papiro di calcoli.
#approssimazionisulmomento
al limite considera $cos5approx1$, $sin5approx0$, ottenendo $cos(70)approx0,321$
in realtà si potrebbe approssimare sempre meglio, considerando le uguaglianze, diminuendo sempre di più l'errore di approssimazione di $sin5,cos5$ però poi verrebbe un papiro di calcoli.
#approssimazionisulmomento
... ma si disegna peggio (molto peggio)
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Abbiamo che $sen(70) = \cos(20)$.
Poiche’ $\cos(30) = 1/2\sqrt(3)= 0.86\ldots$ e poiche’ il coseno e’ decrescente
nell’intervallo $(0,90)$, abbiamo che $0,86 < cos(20) < 1$.
Dalla formula $\cos(u + v) = \cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v)$ segue
che $\cos(3u) = 4\cos^3(u) - 3\cos(u)$ per ogni $u$.
Con $u=20$ gradi e con $a = 2 \cos(20)$ ne deduciamo la formula
$1/2 = 4(a/2)^3 -3*a/2$ e quindi $a^3 - 3a - 1 =0$.
Considerando i segni dei valori del polinomio $P(X) = X^3 - 3X - 1$ in
$-2,-1,0,+1$ e $+2$ si vede facilmente che $P(X)$ ha tre zeri:
uno fra $-2$ e -$1$, uno fra $-1$ e $0$ e un terzo fra $1$ e $2$.
Dal fatto che $1.7 < a < 2$, segue il terzo zero e’ per forza uguale
a $a = 2\cos(20)$.
Per calcolarlo usiamo il metodo di Newton-Raphson.
Abbiamo che
$X - \frac{P(X)}{P’(X)} = X - (X^3 - 3X -1)/(3X^2 - 3) =(1)/(3) (2X^3 + 1)/(X^2 - 1)$.
Siccome $1.7 < a < 2$, prendiamo come prima approssimazione
allo terzo zero $x = 1.8$. Dopo solo $tre$ iterazioni della sostituzione
$x \leftarrow (1)/(3) (2x^3 + 1)/(x^2-1)$,
troviamo l’approssimazione $1.8793852418\ldots$
$\cos(20) = a/2$ e’ quindi approssimativamente uguale a $0.9396926209\ldots$
Visto che il valore corretto di $\cos(20)$ e’ $0.9396926207\ldots$
le prime nove decimali della nostra approssimazione sono corrette.
NB. Esistono anche delle formule per $\cos(20)$ in termini di radici
quadratiche e cubiche. Si ha che
$a = 2 \cos(20) = \root(3)(1/2 + 1/2 \sqrt{-3}) + \root(3)(1/2 - 1/2 \sqrt{-3})$.
Pero, ogni formula di questo tipo coinvolge necessariamente numeri
complessi e la scelta corretta delle radici e’ un po’ sottile.
Poiche’ $\cos(30) = 1/2\sqrt(3)= 0.86\ldots$ e poiche’ il coseno e’ decrescente
nell’intervallo $(0,90)$, abbiamo che $0,86 < cos(20) < 1$.
Dalla formula $\cos(u + v) = \cos(u)\cos(v) - \sin(u)\sin(v)$ segue
che $\cos(3u) = 4\cos^3(u) - 3\cos(u)$ per ogni $u$.
Con $u=20$ gradi e con $a = 2 \cos(20)$ ne deduciamo la formula
$1/2 = 4(a/2)^3 -3*a/2$ e quindi $a^3 - 3a - 1 =0$.
Considerando i segni dei valori del polinomio $P(X) = X^3 - 3X - 1$ in
$-2,-1,0,+1$ e $+2$ si vede facilmente che $P(X)$ ha tre zeri:
uno fra $-2$ e -$1$, uno fra $-1$ e $0$ e un terzo fra $1$ e $2$.
Dal fatto che $1.7 < a < 2$, segue il terzo zero e’ per forza uguale
a $a = 2\cos(20)$.
Per calcolarlo usiamo il metodo di Newton-Raphson.
Abbiamo che
$X - \frac{P(X)}{P’(X)} = X - (X^3 - 3X -1)/(3X^2 - 3) =(1)/(3) (2X^3 + 1)/(X^2 - 1)$.
Siccome $1.7 < a < 2$, prendiamo come prima approssimazione
allo terzo zero $x = 1.8$. Dopo solo $tre$ iterazioni della sostituzione
$x \leftarrow (1)/(3) (2x^3 + 1)/(x^2-1)$,
troviamo l’approssimazione $1.8793852418\ldots$
$\cos(20) = a/2$ e’ quindi approssimativamente uguale a $0.9396926209\ldots$
Visto che il valore corretto di $\cos(20)$ e’ $0.9396926207\ldots$
le prime nove decimali della nostra approssimazione sono corrette.
NB. Esistono anche delle formule per $\cos(20)$ in termini di radici
quadratiche e cubiche. Si ha che
$a = 2 \cos(20) = \root(3)(1/2 + 1/2 \sqrt{-3}) + \root(3)(1/2 - 1/2 \sqrt{-3})$.
Pero, ogni formula di questo tipo coinvolge necessariamente numeri
complessi e la scelta corretta delle radici e’ un po’ sottile.
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