Calcolare l'insieme di definizione delle funzioni
Salve a tutti volevo chiedervi se vi andrebbe di spiegarmi semplicemente come calcolare l'insieme di definizione delle funzioni in modo più completo possibile grazie mille davvero in anticipo!
Risposte
Naturalmente dipende dal tipo di funzione.
Se cerchi su yuotube trovi molti video esplicativi.
Al limite posta la funzione di cui vuoi calcolare il C.E.
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Al limite posta la funzione di cui vuoi calcolare il C.E.
ok quindi in base alle proprietà che possiedono quelle funzioni applico le regole di C.E. ma xò non capisco cosa fare con le funzioni composte. tipo $log (1-arctg x)$.
'regole di C.E.' ... nì
Comunque.
quì bisogna domandarsi: qual è la definizione di funzione composta?
due funzioni sono componibili se e solo se il codominio della funzione interna è incluso al più impropriamente con il dominio della funzione esterna
quindi date due funzioni
$f:A->B$ e $g:X->Y$ la loro composizione: $fcircg: X -> B$ esiste se e solo se $YsubseteqA$
prendendo in esame le nostre funzioni:
$f(x)=logx$ definita come $f:RR_0^+ ->RR$
$g(x)=1-arctanx$ definita come $g:RR->]1-pi/2,1+pi/2[$
per definizione $f(g(x))=log(1-arctanx)$ esiste solo se $]-pi/2,pi/2[subseteqRR_0^+$
il che non è palesemente vero, quindi come si sistema questa cosa?
$log(1-arctanx)$ allora.. il codominio di $g(x)=1-arctanx$ deve essere tale che appartenga a $RR_0^+$
quindi essendo $g(x)incod_(g(x))$ deve essere $g(x)>0$ ovvero $1-arctanx>0$
ma se $g(x)>0$ cosa succede agli elementi del dominio?
$arctanx<1 <=> x
quindi abbiamo così ridefinito la funzione $g:]-infty,tan(1)[->]0,1+pi/2[$
inoltre essendo il dominio della funzione composta, quello della funzione più interna, allora bisogna tenere conto che il dominio della funzione composta, ha come dominio quello di $g(x)=1-arctanx$ che abbiamo appena ridefinito.
in poche parole:
devi ricordare che
a) il dominio deve essere quello della funzione interna
b) il codominio della funzione interna deve coincidere con il dominio della funzione interna
quindi a meno di finezze matematiche, ti basterebbe calcolare il dominio di $g(x)$ e poi porre $g(x)>0$ per rispettare il fatto che il codominio di $g$ sia incluso al più impropriamente nel dominio di $f$
metti a sistema il dominio di $g(x)$ con $g(x)>0$ e ti trovi un po' tutto.
Le funzioni composte sono una parte molto delicata, e molto spesso la si sottovaluta.
molto spesso alcuni professori si accontentano soltanto di definire il dominio della funzione composta infatti si potrebbe fare qualche passo in più calcolando:
$f(]0,1+pi/2[)$ che sarebbe il codominio della funzione composta, ovvero $]-infty,log(1+pi/2)[$
di fatti essendo $log(x)$ una funzione strettamente crescente su tutto il dominio, possiamo considerare le immagini degli estremi, come gli estremi dell'immagine $f(]0,1+pi/2[)$
Comunque.
$log(1-arctanx)$
quì bisogna domandarsi: qual è la definizione di funzione composta?
due funzioni sono componibili se e solo se il codominio della funzione interna è incluso al più impropriamente con il dominio della funzione esterna
quindi date due funzioni
$f:A->B$ e $g:X->Y$ la loro composizione: $fcircg: X -> B$ esiste se e solo se $YsubseteqA$
prendendo in esame le nostre funzioni:
$f(x)=logx$ definita come $f:RR_0^+ ->RR$
$g(x)=1-arctanx$ definita come $g:RR->]1-pi/2,1+pi/2[$
per definizione $f(g(x))=log(1-arctanx)$ esiste solo se $]-pi/2,pi/2[subseteqRR_0^+$
il che non è palesemente vero, quindi come si sistema questa cosa?
$log(1-arctanx)$ allora.. il codominio di $g(x)=1-arctanx$ deve essere tale che appartenga a $RR_0^+$
quindi essendo $g(x)incod_(g(x))$ deve essere $g(x)>0$ ovvero $1-arctanx>0$
ma se $g(x)>0$ cosa succede agli elementi del dominio?
$arctanx<1 <=> x
quindi abbiamo così ridefinito la funzione $g:]-infty,tan(1)[->]0,1+pi/2[$
inoltre essendo il dominio della funzione composta, quello della funzione più interna, allora bisogna tenere conto che il dominio della funzione composta, ha come dominio quello di $g(x)=1-arctanx$ che abbiamo appena ridefinito.
$fcircg:]-infty,tan(1)[->RR$ e $fcircg: x |-> log(1-arctanx)$
in poche parole:
devi ricordare che
a) il dominio deve essere quello della funzione interna
b) il codominio della funzione interna deve coincidere con il dominio della funzione interna
quindi a meno di finezze matematiche, ti basterebbe calcolare il dominio di $g(x)$ e poi porre $g(x)>0$ per rispettare il fatto che il codominio di $g$ sia incluso al più impropriamente nel dominio di $f$
metti a sistema il dominio di $g(x)$ con $g(x)>0$ e ti trovi un po' tutto.
Le funzioni composte sono una parte molto delicata, e molto spesso la si sottovaluta.
molto spesso alcuni professori si accontentano soltanto di definire il dominio della funzione composta infatti si potrebbe fare qualche passo in più calcolando:
$f(]0,1+pi/2[)$ che sarebbe il codominio della funzione composta, ovvero $]-infty,log(1+pi/2)[$
di fatti essendo $log(x)$ una funzione strettamente crescente su tutto il dominio, possiamo considerare le immagini degli estremi, come gli estremi dell'immagine $f(]0,1+pi/2[)$
$fcircg:]-infty,tan(1)[->]-infty,log(1+pi/2)[$
@a.bici:
prima di cadere in una crisi depressiva ed abbandonare lo studio della matematica, tieni conto che per seguire le spiegazioni di anto_zoolander non bastano un paio di lauree ed una pazienza infinita.
Secondo me, per individuare l'insieme di esistenza di una funzione composta, basta imporre le condizioni necessarie per l'esistenza di quella che si applica per ultima (la prima nella scrittura della composizione).
Nell'esempio che proponi, affinché esista $ log(1-arctan(x)) $, basterà che sia $ 1- arctan(x) >0 $. Lo svolgimento di questa disequazione, se svolto correttamente, ti condurrà ai valori di $ x $ che cercavi.
Ciao
B.
prima di cadere in una crisi depressiva ed abbandonare lo studio della matematica, tieni conto che per seguire le spiegazioni di anto_zoolander non bastano un paio di lauree ed una pazienza infinita.
Secondo me, per individuare l'insieme di esistenza di una funzione composta, basta imporre le condizioni necessarie per l'esistenza di quella che si applica per ultima (la prima nella scrittura della composizione).
Nell'esempio che proponi, affinché esista $ log(1-arctan(x)) $, basterà che sia $ 1- arctan(x) >0 $. Lo svolgimento di questa disequazione, se svolto correttamente, ti condurrà ai valori di $ x $ che cercavi.
Ciao
B.
non ho mai riso tanto 
grazie mille anto_zoolander anche tu orsoulx tranqui anto_zoolander è in camba è mi ha dato buoni consigli.
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