Calcolare area triangolo rettangolo

[filuccio]

Buongiorno a tutti, sono alle prese con il seguente problema :
Del triangolo rettangolo ABC, rettangolo in A, si conosce il seno dell'angolo ACB=3/5 e AC=20 cm. Sia
AH l'altezza relativa all'ipotenusa BC. Determinare l'area del triangolo.
La soluzione è 96 cm^2.
Nel file allegato ci sono i passaggi che faccio per risolvere il problema ma non mi trovo con la soluzione e non riesco a capire dov'è l'errore. Ho cercato su internet ed ho trovato una risposta a questo problema, ve la incollo:
Poichè in un triangolo la somma degli angoli interni è 180 gradi,se hai gamma (arcsengamma) hai pure beta (180-90-gamma);a questo punto AC moltiplicato per il seno di gamma ti darà AH,cateto del triangolo ACH,mentre CH si potrà ricavare come rad. AC quadro- AH quadro;poichè esiste la proporzionalità tra i lati e gli angoli opposti di un triangolo,nel triangolo ABC potrai scrivere AB : sen gamma =AC : sen beta e ricavare l'unica incognita AB;sempre col teorema di Pitagora,rad.( AB quadro - AH quadro) ti darà BH.
A questo punto (CH + HB ) x AH/2 ti darà l'area di ABC

Non posso usare calcolatrici quindi non so come trovare arcsengamma.
POtreste dirmi dov'è l'errore nelle mie procedure?
Grazie

[@melia]

Se non ci sono particolari spiegazioni, con $beta$ si intende l'angolo in B, non quello in C, che di solito è indicato con $gamma$. Credo che l'errore sia tutto lì, poi il procedimento adottato va anche bene, solo che avrei trovato l'area facendo il prodotto dei cateti, senza calcolare l'altezza relativa all'ipotenusa.

[filuccio]

ok, intanto grazie. In questo modo però cambia la terminologia ma non il risultato

[@melia]

A no?
Prova a vedere: ti assicuro che avere il seno dell'angolo adiacente al cateto noto oppure avere quello opposto cambia, o sì che cambia.

[filuccio]

Non capisco! L'angolo noto è ACB, o meglio il seno dell'angolo ACB che non cambia posizione. Se lo chiamo alfa, beta o gamma sarà sempre in quella posizione.

[gugo82]

$AC$ è l'ipotenusa.