Calcolare a mente seno e coseno

[piccola_stella1]

In fisica, studiando i vettori, ci sono 2 formule che permettono di sapere conoscendo un angolo le coordinate di una semiretta sull'asse delle x e delle y...
ho letto che seno e coseno sono il rapporto dei due cateti di un triangolo rettangolo, ma se si conosce solo l'angolo come si fa a fare il rapporto di due lati che non si conoscono? e sopratutto come si calcola a mente (le operazioni da fare) ?

GRAZIE milleeeee!!

Aggiunto 2 giorni più tardi:

e se ad esempio dovessi trovare il seno e coseno di un angolo non "perfetto" come 17,3 o semplicemente 17 che operazioni si fanno?

Aggiunto 19 ore 14 minuti più tardi:

Ma la calcolatrice che caspita di operazioni fa?
Voglio dire, non penso che si inventi i numeri ma faccia delle operazioni specifiche

Aggiunto 5 ore 20 minuti più tardi:

Quindi come dovrebbe essere calcolato il sen e cos di 17 ?

[the.track]

Beh allora a mente puoi calcolare seno coseno tangente diciamo di angoli "belli" del tipo:

[math]\frac{\pi}{6},\: \frac{\pi}{4},\: \frac{\pi}{3}, \: \frac{\pi}{2},\: 0[/math]

Allora se noti questi angoli sono caratterizzati nel presentarsi in triangoli particolari. Metà quadrato o metà triangolo equilatero. Allora disegni questi triangoli e come hai ben detto trovi il rapporto fra i lati del triangolo (cateto adiacente e ipotenusa per il coseno, cateto opposto e ipotenusa per il seno, cateto opposto cateto adiacente per la tangente oppure per quest'ultima puoi fare semplicemente seno fratto coseno).

Puoi ci sarebbero sistema un po' più complicati che sfruttano la circonferenza di raggio unitario.

Se hai dubbi chiedi. :)

Aggiunto 2 giorni più tardi:

Come ti dicevo prima ti sarà parecchio difficile calcolare coseno e seno di angoli diversi da quelli anche sfruttando carta e penna. Il suggerimento che ti ho dato io è proprio quello di usarla nel modo che ti ho detto.
Ad esempio facciamo un esercizio.

Trovare il seno e coseno dell'angolo

[math]\frac{\pi}{6}[/math]

chiaramente espresso in radianti.

Allora sappiamo che 30° è meta di un angolo di 60° individuato in un triangolo equilatero. Allora disegniamo un triangolo equilatero di lato

[math]\ell[/math]

(indico la lunghezza in questo modo perché in realtà ci accorgeremo che non ce ne facciamo niente sapere se vale 1 piuttosto che 2 piuttosto che

[math]\sqrt[3]{17}[/math]

. In caso poi se hai dubbi vediamo che questo funziona per qualsiasi valore di

[math]\ell[/math]

). Adesso ne tracciamo l'altezza. Allora come saprai caratteristica dell'altezza i un triangolo equilatero è quella di essere anche bisettrice. Tale altezza (per simmetria del triangolo equilatero) vale qualunque delle tre si prenda:

[math]h=\sqrt{\ell^2 - \(\frac{1}{2}\ell\)^2 }[/math]

che raccogliendo

[math]\ell^2[/math]

possiamo scrivere come:

[math]h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\ell[/math]

.

Adesso sappiamo che essendo l'altezza anche bisettrice possiamo considerare il triangolo rettangolo di angoli interni pari a 30°, 60° e 90°.

Adesso sappiamo che il seno di un angolo è il rapporto fra il cateto opposto e l'ipotenusa. Quindi avremo:

[math]sin (30)=\frac{\frac{1}{2}\ell}{\ell}[/math]

semplificando troviamo che:

[math]sin(30)=\frac{1}{2}[/math]

Per il coseno ragioniamo allo stesso modo. Sappiamo essere il rapporto fra cateto adiacente ed ipotenusa. Pertanto avremo che:

[math]cos(30)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\ell}{\ell}[/math]

Semplificando avremo:

[math]cos(30)=\frac{\sqrt{3}}{2}[/math]

Ok? se hai dubbi chiedi.

P.S.: la prossima volta non mandarmi un messaggio privato, rispondimi direttamente qui sul forum. È più comodo per tutti. ;)

[BIT5]

Per angoli non riconducibili agli angoli di 30,45,60, se non hai fatto trigonometria, devi usare la calcolatrice....

Altrimenti se avete fatto trigonometria, con le formule di addizione e sottrazione, ad esempio..

Ma per l'angolo di 17 ad esempio, sarebbe un disastro comunque, a prescindere dal fatto che tu abbia fatto trigonometria o meno

Aggiunto 18 ore più tardi:

La calcolatrice ha in se' una serie di algoritmi, ovviamente.

Ma ti sei mai chiesta come faccia, ad esempio, la calcolatrice a calcolare la radice quadrata, ad esempio? o il logaritmo? o la radice ennesima di un numero?

Il seno e' il rapporto tra il cateto opposto all'angolo e l'ipotenusa, di un triangolo rettangolo.

Sapendo ad esempio che:

[math] \sin \( \frac{x}{2} \) = \sqrt{ \frac{1- \cos x}{2}} [/math]

si possono calcolare tutti i seni

Ad esempio, partendo da seno di 60 =

[math] \frac{\sqrt2}{2} [/math]

si calcolano

30 15 7,5 3,75 1,875 0,9375 0,46875 e cosi' via

Poi sapendo che

[math] \sin (x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y [/math]

si calcolano per quanto detto sopra, ad esempio

[math] \sin (6,46875) = \sin (60 + 0,46875) [/math]

Cosi' sono state fatte le tabelle.

La calcolatrice estrapola i valori attraverso interpolazione e approssimazioni tramite sviluppi polinomiali.

Aggiunto 5 ore 30 minuti più tardi:

Ma a cosa ti servono seno e coseno di 17, scusa?

Aggiunto 43 secondi più tardi:

Proprio per la difficolta', e' difficile che in un problema ti venga proposto un angolo di 17...

[aleio1]

potresti usare gli sviluppi in serie di Taylor che approssimano con dei polinomi anche le funzioni trigonometriche..in questo modo è più facile ma non certo divertente calcolare seni e coseni di angoli brutti..