Calclolare il limite

[insule23]

salve avrei un aiuto su come svolgere questo esercizio limite..
si risolva ,se esiste ,attraverso l'uso di limiti notevoli il seguente limite

[math]\lim_{x\rightarrow -\infty }( 1-cos\frac{1}{\sqrt{ | x |}} ) ( \sqrt{x^{2}-4x+cos^{2}x} +x )\cdot e^{-x}[/math]

il libro mi dice come primo passaggio il seguente

[math]\lim_{x\rightarrow -\infty }( \frac{1}{2x} ) (2x)\cdot e^{-x} [/math]

non ho capito cosa ha fatto...
se mi potete aiutare spiegandomi i vari passaggi
per poterlo risolvere...
grazie

[ciampax]

Guardiamo separatamente le tre funzioni in prodotto. Per prima cosa, osserva che se

[math]x\to-\infty[/math]

abbiamo che

[math]1/\sqrt{|x|}\to 0[/math]

: pertanto se per la prima funzione operiamo la sostituzione

[math]t=1/\sqrt{|x|}[/math]

abbiamo

[math]\lim_{x\to-\infty}\left(1-\cos\frac{1}{\sqrt{|x|}}\right)=\lim_{t\to 0^-}\left(1-\cos t\right)=\lim_{t\to 0^-}\frac{1-\cos t}{t^2}\cdot t^2=\\
\lim_{t\to 0^-}\frac{t^2}{2}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{2|x|}[/math]

avendo usato il limite notevole

[math]\lim_{t\to 0}\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac{1}{2}[/math]

.

Per la seconda funzione osserva che si ha una forma indeterminata: pertanto possiamo procedere così:

[math]\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2-4x+\cos^2 x}+x\right)\cdot\frac{\sqrt{x^2-4x+\cos^2 x}-x}{\sqrt{x^2-4x+\cos^2 x}-x}=\\
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^2-4x+\cos^2 x-x^2}{\sqrt{x^2-4x+\cos^2 x}-x}=\\
\lim_{x\to -\infty}\frac{-4x+\cos^2 x}{|x|\sqrt{1-4/x+\cos^2 x/x^2}-x}=[/math]

dal momento che

[math]4/x\to 0,\ \cos x/x\to 0[/math]

[math]=\lim_{x\to-\infty}\frac{-4x+\cos^2 x}{|x|-x}=[/math]

poiché

[math]|x|=-x[/math]

quando

[math]x\to-\infty[/math]

[math]=\lim_{x\to-\infty}\frac{-4x+\cos^2 x}{-2x}=\lim_{x\to-\infty}\left(2-\frac{\cos^2 x}{2x}\right)=2[/math]

Abbiamo infine che il limite originale diventa

[math]\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{2x}\cdot 2\cdot e^{-x}=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x e^x}=0^-[/math]

dal momento che il denominatore ha come limite meno infinito.

[insule23]

scusa ma non deve essere:

[math]\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x e^x}=-\infty[/math]

è giusto...
fammi sapere...
grazie..

[ciampax]

Ma io scrivo arabo per caso?

[insule23]

scusami ma non ho capito...
perchè riprovando a me risulta essere -infinito..
mi potresti spiegare per favore..
grazie..

[ciampax]

Ah, ma porc.... avevo scritto zero!

Ok, sono fuori pure io.

(intendevo "scrivo arabo" perché pensavo non avessi capito quanto veniva alla fine... non m'ero reso conto di aver scritto zero... colpa dei copia/incolla)

Aggiunto 11 minuti più tardi:

Ci tengo a sottolineare una cosa: lo sai che il cross-posting è vietato sia qui che su Matematicamente? E che per entrambi i casi c'è il ban?

[insule23]

ok grazie mille...
risolto..
va bene..
tutto ok..