Bisettrici di due rette - ma i conti non tornano ...
Buongiorno, mi sono imbattuta in un esercizio svolto in un libro ma non mi torna il risultato.
Si tratta di trovare le bisettrici di due rette (il tutto è propedeutico alla ricerca del centro di un cerchio).
Ecco le due rette :
a) $ y = 2x $
b) $ x = 2y $
soluzione proposta da libro (e tuttavia mi sembra corretta, anche se ...)
1) $(2x -y)/sqrt(5)=(x-2y)/sqrt(5)$
2) $(2x -y)/sqrt(5)=-(x-2y)/sqrt(5)$
Le soluzioni risultano quindi :
1) $ x+y = 0 $ cioè retta $ x= -y $ bisettrice del 2° e 4° quadrante
2) $ x-y = 0 $ cioè retta $ x= y $ bisettrice del 1° e 3° quadrante
Ma disegnando le due rette (a) e (b) le bisettrici sono chiaramente altre, cioè:
1a) $ y = x/2$
2a) $ y = -2x $
Non mi è chiaro se sbaglio io o il libro e dove eventualmente sta l'errore.
(però il famoso centro della circonferenza richiesta non si trova sulla retta che viene trovata dal risultato proposto dal libro!)
grazie MOLTO del vostro aiuto - buona giornata
Si tratta di trovare le bisettrici di due rette (il tutto è propedeutico alla ricerca del centro di un cerchio).
Ecco le due rette :
a) $ y = 2x $
b) $ x = 2y $
soluzione proposta da libro (e tuttavia mi sembra corretta, anche se ...)
1) $(2x -y)/sqrt(5)=(x-2y)/sqrt(5)$
2) $(2x -y)/sqrt(5)=-(x-2y)/sqrt(5)$
Le soluzioni risultano quindi :
1) $ x+y = 0 $ cioè retta $ x= -y $ bisettrice del 2° e 4° quadrante
2) $ x-y = 0 $ cioè retta $ x= y $ bisettrice del 1° e 3° quadrante
Ma disegnando le due rette (a) e (b) le bisettrici sono chiaramente altre, cioè:
1a) $ y = x/2$
2a) $ y = -2x $
Non mi è chiaro se sbaglio io o il libro e dove eventualmente sta l'errore.
(però il famoso centro della circonferenza richiesta non si trova sulla retta che viene trovata dal risultato proposto dal libro!)
grazie MOLTO del vostro aiuto - buona giornata
Risposte
Le due rette sono le
$ y=2x $
e
$y=1/2x$
Per simmetria le bisettrici sono la
$y=x$
e
$y=-x$
che sono anche le bisettrici, rispettivamente, dei primo e terzo quadrante e dei secondo e quarto. Tutte le quattro rette passano per $ O (0,0) $ (in tutte il termine noto è nullo).
$ y=2x $
e
$y=1/2x$
Per simmetria le bisettrici sono la
$y=x$
e
$y=-x$
che sono anche le bisettrici, rispettivamente, dei primo e terzo quadrante e dei secondo e quarto. Tutte le quattro rette passano per $ O (0,0) $ (in tutte il termine noto è nullo).
Ti faccio anche notare che le soluzioni proposte dal libro sono corrette. Infatti, semplificandole, risultano proprio essere le sopradette. 
Se il centro della circonferenza appartiene a una delle bisettrici, deve avere le coordinate uguali in valore assoluto.................
Se il centro della circonferenza appartiene a una delle bisettrici, deve avere le coordinate uguali in valore assoluto.................
Ciao - al momento sono fuori casa - intanto ti ringrazio di cuore per la risposta è la velocità - ci deve essere comunque una anomalia perche la risultante non passa per i punti richiesti dal problema - farò le verifiche - ciao e grazi
Quali sono le coordinate dei punti? O........meglio ancora, qual è il testo del problema?
Rieccomi. Stavo giusto pensando di scrivere tutto il testo. Intanto vorrei precisare che ho preso una svista nel tracciare le due rette precedentemente indicate(istintivamente cercavo di far quadrare le cose dopo varie volte che rifacevo i conti)- quindi quanto detto in precedenza decade.
Resta il fatto che questo problema ha qualcosa che non quadra (forse è un mix di due polemiche diversi).
Testo: scrivere l'equazione delle circonferenze T passanti per il punto P (0,1) e Tangenti (!!) alle rette
y = 2x e x = 2y
Svolgimento : il centro di T si trova su una delle bisettrici degli angoli formati dalle due rette date. (e io qui già mi chiedo come ciò può essere evidente)
Tali bisettrici hanno rispettivamente equazioni (vedere le formule già scritte nell mio precedente post) tali che le rette cercate sono:
x+y=0 e x-y=0
Si può verificare che il centro di T si trova sulla bisettrici x+y = 0. Pertanto detta $alpha $ l'ascissa di C si ha : C ($alpha $ , $-alpha $).
Il raggio r di T è la distanza di C da una delle rette date, cioè :
r = $abs (3alpha)/sqrt (5) $.
L'equazione richiesta è quindi del tipo:
(1) $ (x- alpha)^2+(y+alpha)^2 = (9alpha^2)/5.$
Se imponiamo alla circonferenza rappresentata dalla (1) di passare per il punto P (0,1) si ottiene la seguente equazione i $alpha $:
$alpha^2 + (1+alpha)^2 = (9alpha^2)/5$,
cioè
$ alpha^2 + 10alpha + 5 = 0$
che risolto dà :
$alpha 1= -5-sqrt(20) $
$alpha 2 = -5+sqrt (20) $
E poi dà le formule del cerchio sostituendo le coordinate del centro. (mi risparmio di scriverlo perché temo ....)
Ho trovato il sistema di disegnare il cerch'io e effettivamente passa per il punto dato ma NON È TANGENTE alle due rette indicate.
Grazie per la tua attenzione e la tua pazienza: attendo tuo commento è saluto cordialmente.
Resta il fatto che questo problema ha qualcosa che non quadra (forse è un mix di due polemiche diversi).
Testo: scrivere l'equazione delle circonferenze T passanti per il punto P (0,1) e Tangenti (!!) alle rette
y = 2x e x = 2y
Svolgimento : il centro di T si trova su una delle bisettrici degli angoli formati dalle due rette date. (e io qui già mi chiedo come ciò può essere evidente)
Tali bisettrici hanno rispettivamente equazioni (vedere le formule già scritte nell mio precedente post) tali che le rette cercate sono:
x+y=0 e x-y=0
Si può verificare che il centro di T si trova sulla bisettrici x+y = 0. Pertanto detta $alpha $ l'ascissa di C si ha : C ($alpha $ , $-alpha $).
Il raggio r di T è la distanza di C da una delle rette date, cioè :
r = $abs (3alpha)/sqrt (5) $.
L'equazione richiesta è quindi del tipo:
(1) $ (x- alpha)^2+(y+alpha)^2 = (9alpha^2)/5.$
Se imponiamo alla circonferenza rappresentata dalla (1) di passare per il punto P (0,1) si ottiene la seguente equazione i $alpha $:
$alpha^2 + (1+alpha)^2 = (9alpha^2)/5$,
cioè
$ alpha^2 + 10alpha + 5 = 0$
che risolto dà :
$alpha 1= -5-sqrt(20) $
$alpha 2 = -5+sqrt (20) $
E poi dà le formule del cerchio sostituendo le coordinate del centro. (mi risparmio di scriverlo perché temo ....)
Ho trovato il sistema di disegnare il cerch'io e effettivamente passa per il punto dato ma NON È TANGENTE alle due rette indicate.
Grazie per la tua attenzione e la tua pazienza: attendo tuo commento è saluto cordialmente.
Cara rosa, ho l'impressione che tu abbia più bisogno di aiuto in italiano che in matematica...........scusa, scherzo 
La tua soluzione è corretta. Non so dove trovi delle incongruenze. Provo ad allegare un grafico disegnato utilizzando la tua soluzione...................
La tua soluzione è corretta. Non so dove trovi delle incongruenze. Provo ad allegare un grafico disegnato utilizzando la tua soluzione...................
.............ed anche un particolare:
Ciao
Ciao
Ciao e sempre grazie.
In effetti devo ancora imparare a destreggiarmi in "smartfonese" che mi ha fatto scrivere quello che vuole il cellulare ( da dove ha preso Polemiche al posto di problemi, e poi mi fa mettere la è al posTo della semplice e ). Robe da matti!
Proseguendo con il problema ho capito dpo averti scritto che il cerchio si doveva trovare nel secondo ]quadrante ... e poi confondevo il punto (0,1) mettendolo sempre su (1,1). Insomma sono un po' confusionaria ahimè. Ora controllero' anche i dati del cerchio che avevo fatto fare al PC (non ho potuto scaricare il vostro programma).
Per il momento ti ringrazio infinitamente.
Ah ... non ho capito il tuo ultimo messaggio cioè quello de "particolare".
Buona giornata.
In effetti devo ancora imparare a destreggiarmi in "smartfonese" che mi ha fatto scrivere quello che vuole il cellulare ( da dove ha preso Polemiche al posto di problemi, e poi mi fa mettere la è al posTo della semplice e ). Robe da matti!
Proseguendo con il problema ho capito dpo averti scritto che il cerchio si doveva trovare nel secondo ]quadrante ... e poi confondevo il punto (0,1) mettendolo sempre su (1,1). Insomma sono un po' confusionaria ahimè. Ora controllero' anche i dati del cerchio che avevo fatto fare al PC (non ho potuto scaricare il vostro programma).
Per il momento ti ringrazio infinitamente.
Ah ... non ho capito il tuo ultimo messaggio cioè quello de "particolare".
Buona giornata.
E' un ingrandimento dell'immagine precedente...........per mostrarti che le circonferenze sono DUE, non una sola!Ciao.
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