Bisettrice triangolo isoscele angoli alla base

[Mario Desideri]

Ancora un problema che ci ha scoraggiato: "IL perimetro di un triangolo isoscele misura 117a e la bisettrice di un angolo alla base divide il lato opposto in 2 parti la cui differenza è 4a. Determina i lati del triangolo."
Grazie dei contributi

[nRT]

Ciao, questo problema ha delle soluzioni non proprio invitanti, ma proviamo a risolverlo ugualmente.

Descrivo il disegno, così puoi farti un disegno simile e ci possiamo capire con le lettere.
Disegniamo un triangolo isoscele e chiamiamo

[math]b[/math]

,

[math]c[/math]

,

[math]d[/math]

i lati del triangolo, di cui

[math]c[/math]

è la base, in basso. La bisettrice divide il lato

[math]d[/math]

in due segmenti

[math]e[/math]

ed

[math]f[/math]

. Il segmento

[math]e[/math]

è quello in basso,

[math]f[/math]

è quello in alto.
Ora, dobbiamo considerare due casi: il triangolo è ottusangolo ed

[math]e > f[/math]

o il triangolo è acutangolo ed

[math]e < f[/math]

.
Cominciamo col primo caso:

[math]
e > f \\
e = 4a + f \\
d = f + e = 2f + 4a \\
b = 2f + 4a \\
[/math]

Teorema della bisettrice:

[math]
\frac{b}{c} = \frac{f}{e} \\
\frac{2f+4a}{c} = \frac{f}{f+4a} \\
c = \frac{(2f+4a)(f+4a)}{f} \\
[/math]

Somma di due lati maggiore del terzo lato:

[math]
2b > c \\
4f + 8a - \frac{2f^2+8af+4af+16a^2}{f} > 0 \\
2f^2 - 4af - 16a^2 > 0 \\
f^2 - 2af - 8a^2 > 0 \\
(f + 2a)(f - 4a) > 0 \\
f > 4a \\
[/math]

Perimetro:

[math]
2b + c = 117a \\
4f + 8a + \frac{2f^2 + 12af + 16a^2}{f} - 117a = 0 \\
6f^2 - 97af + 16a^2 = 0 \\
f = \frac{a}{6} \lor f = 16a \\
[/math]

Visto che

[math]f > 4a[/math]

l'unica soluzione accettabile è

[math]f = 16a[/math]

Sostituendo, troviamo i lati:

[math]
b = d = 2f + 4a = 36a \\
c = 117a - 36a = 45a
[/math]

Stessa cosa andrebbe fatta per il secondo caso. Ho cominciato a risolverlo e compaiono numeri a 5 cifre, quindi non spaventarti nel caso trovi certi numeri.

Spero di esserti stato d'aiuto. Se hai domande o dubbi chiedi pure.
Ciao ;)