Binomio di Newton
Amici, non sto riuscendo a capire il Binomio di Newtoon, avete qualche appunto he parla di questo???
Potreste aiutarmi a capirlo???
Potreste aiutarmi a capirlo???
Risposte
Esercizio 1
Dimostrare per induzione la seguente identità:
$ sum_(k=1)^n k = (n(n+1))/2 $ per ogni intero $ n>=1 $
So di che formula si tratta, bene, ho capito che ha imposto la condizione $ n>=1 $, ma non ho capito il perchè ha impostato questa condizione
Penso di aver compreso che in Analisi, "mi perdonino i matematici per il linguaggio che sto usando", per induzione significa che ciò che si verifica ad un numero, si deve verificare anche al successivo, giusto
Ma come faccio a dimostrare questo per la sommatoria espressa in questo modo $ sum_(k=1)^n k = (n(n+1))/2 $
Dimostrare per induzione la seguente identità:
$ sum_(k=1)^n k = (n(n+1))/2 $ per ogni intero $ n>=1 $
So di che formula si tratta, bene, ho capito che ha imposto la condizione $ n>=1 $, ma non ho capito il perchè ha impostato questa condizione
Penso di aver compreso che in Analisi, "mi perdonino i matematici per il linguaggio che sto usando", per induzione significa che ciò che si verifica ad un numero, si deve verificare anche al successivo, giusto
Ma come faccio a dimostrare questo per la sommatoria espressa in questo modo $ sum_(k=1)^n k = (n(n+1))/2 $
Quello che hai compreso è giusto anche se non completo, ma prendiamolo per buono. Devi quindi dimostrare che, sapendo che quella formula è vera per $n$, lo è anche per $n+1$, cioè che $sum_(k=1)^(n+1)k=((n+1)(n+2))/2$. Per farlo pensa alla sommatorie scritte in modo esplicito; non puoi farlo usando quella formula perché è proprio quella che vuoi dimostrare.
Non sto riuscendo a capire come fare a pensare ad una sommatoria in forma esplicita per poter iniziare la dimostrazione!
Davvero? Vediamo se così capisci:
$sum_(k=0)^(n+1) k = 1+2+3+\ldots+(n-1)+n+(n+1) = sum_(k=0)^n k + (n+1) = \ldots$
$sum_(k=0)^(n+1) k = 1+2+3+\ldots+(n-1)+n+(n+1) = sum_(k=0)^n k + (n+1) = \ldots$
"Pianoth":
Davvero? Vediamo se così capisci:
$sum_(k=0)^(n+1) k = 1+2+3+\ldots+(n-1)+n+(n+1) = sum_(k=0)^n k + (n+1) = \ldots$
Quindi vuoi dire che questa è tutta la dimostrazione
Non si deve dire nulla
Insomma, non si deve lasciare nessun commento
Devi prima dimostrare che è vera la base dell'induzione, infatti per $n=1$ si ha $sum_(k=0)^(1) k = 0 + 1 = 1$ e infatti con la formula ci troviamo $(1*(1+1))/2=(1(2))/2=1$.
Fatto ciò devi dimostrare che se vale per $n$, allora vale per $n+1$, cioè devi supporre che per $n$ è vera e basandoti su di ciò devi dimostrare che è vera per $n+1$. Infatti, se è vera per un numero e basandoti su di ciò dimostri che è vera per il seguente, allora dopo avere dimostrato il caso in cui $n=1$ hai dimostrato automaticamente il caso in cui $n=2$ e di conseguenza $n=3$ e di conseguenza $n=4$ ecc. ecc. Ossia lo hai dimostrato per qualunque $n in NN$.
Nel nostro caso lo puoi fare semplicemente assumendo vera la formula per $n$, cioè assumendo vera la formula:
$sum_(k=0)^n k = (n(n+1))/2$
Basandoti su quella devi dimostrare che è vero anche che
$sum_(k=0)^(n+1) k = ((n+1)((n+1)+1))/2$
Quindi, notando che (come ti ho fatto vedere sopra) $sum_(k=0)^(n+1) k = sum_(k=0)^n k + (n+1)$, dovrebbe essere molto semplice concludere.
Fatto ciò devi dimostrare che se vale per $n$, allora vale per $n+1$, cioè devi supporre che per $n$ è vera e basandoti su di ciò devi dimostrare che è vera per $n+1$. Infatti, se è vera per un numero e basandoti su di ciò dimostri che è vera per il seguente, allora dopo avere dimostrato il caso in cui $n=1$ hai dimostrato automaticamente il caso in cui $n=2$ e di conseguenza $n=3$ e di conseguenza $n=4$ ecc. ecc. Ossia lo hai dimostrato per qualunque $n in NN$.
Nel nostro caso lo puoi fare semplicemente assumendo vera la formula per $n$, cioè assumendo vera la formula:
$sum_(k=0)^n k = (n(n+1))/2$
Basandoti su quella devi dimostrare che è vero anche che
$sum_(k=0)^(n+1) k = ((n+1)((n+1)+1))/2$
Quindi, notando che (come ti ho fatto vedere sopra) $sum_(k=0)^(n+1) k = sum_(k=0)^n k + (n+1)$, dovrebbe essere molto semplice concludere.
Credimi, ma anche se so il concetto di induzione, non saprei cosa dire come conclusione!
Devi dimostrare che $ sum_(k=0)^(n+1) k = sum_(k=0)^n k + (n+1) = ((n+1)((n+1)+1))/2$, sapendo che $ sum_(k=0)^n k = (n(n+1))/2 $. Credo che hai difficoltà a concludere forse solo perché non sei abituato a questa simbologia, ma ti assicuro che è semplicissimo concludere. Se ancora non hai capito ti do la dritta finale in uno spoiler (così ci pensi un attimo prima di aprirlo):
Esercizio 2
Dimostrare la seguente identità, (per induzione):
$ sum_(k=0)^n q^k = (1-q^(n+1))/(1-q) $ per ogni $ n>=0 $ e $ q!= 1 $
Vediamo se riesco a dire quanto mi spetta.....
Per induzione significa che se una proprietà vale per $ n $ allora varrà anche per $ n +1 $ e il che significa che la sommatoria cresce in termini di potenza, quindi la sommatoria del primo membro potrebbe scriversi in questo modo, insomma, il significato del primo membro è:
$ sum_(k=0)^n q^k = 1 + q^(k+1) $
Se invece la somma cominciasse da $ k=1 $ allora, sarebbe scritta in questo modo:
$ sum_(k=1)^n q^k = q + q^(k+1) $
Anche se quest'ultima si potrebbe scriverla anche in questo modo:
$ sum_(k=1)^n q^k = q + q^(k+1) => sum_(k=1)^(n+1) q^k $ Dove $ (n+1) $ è inteso all'esponente $ k $
E infatti, se ciò che si intende per l'esponente $k$, allora la stessa potrebbe essere scritta in questo modo:
$ sum_(k=1)^(n+1) q^k = sum_(k=1)^(n) q^k + q^(n+1) $
Fino ad arrivare ad un numero $ n $
Va bene fin quì??
Appena qualcuno mi da conferma se quanto ho detto è giusto, continuerò con la dimostrazione
Dimostrare la seguente identità, (per induzione):
$ sum_(k=0)^n q^k = (1-q^(n+1))/(1-q) $ per ogni $ n>=0 $ e $ q!= 1 $
Vediamo se riesco a dire quanto mi spetta.....
Per induzione significa che se una proprietà vale per $ n $ allora varrà anche per $ n +1 $ e il che significa che la sommatoria cresce in termini di potenza, quindi la sommatoria del primo membro potrebbe scriversi in questo modo, insomma, il significato del primo membro è:
$ sum_(k=0)^n q^k = 1 + q^(k+1) $
Se invece la somma cominciasse da $ k=1 $ allora, sarebbe scritta in questo modo:
$ sum_(k=1)^n q^k = q + q^(k+1) $
Anche se quest'ultima si potrebbe scriverla anche in questo modo:
$ sum_(k=1)^n q^k = q + q^(k+1) => sum_(k=1)^(n+1) q^k $ Dove $ (n+1) $ è inteso all'esponente $ k $
E infatti, se ciò che si intende per l'esponente $k$, allora la stessa potrebbe essere scritta in questo modo:
$ sum_(k=1)^(n+1) q^k = sum_(k=1)^(n) q^k + q^(n+1) $
Fino ad arrivare ad un numero $ n $
Va bene fin quì??
Appena qualcuno mi da conferma se quanto ho detto è giusto, continuerò con la dimostrazione
Ragazzi ma il teorema binomiale può essere usato se il binomio è elevato ad un numero irrazionale o ad una frazione o ad un numero negativo? '-'
Salve violetmari.
Per alcune basta aguzzare l'ingegno.
- Esponente intero negativo = "uno su" esponente positivo... quindi il denominatore si può sviluppare tranquillamente.
- Esponente frazionario $m/n$ = "radice $n$-esima del binomio elevato alla $m$"... quindi l'argomento della radice si può sviluppare tranquillamente (ovviamente meglio prima vedere se si semplifica qualcosetta!).
- Esponente reale (non razionale) quindi irrazionale... non c'è niente da fare!
Per alcune basta aguzzare l'ingegno.
- Esponente intero negativo = "uno su" esponente positivo... quindi il denominatore si può sviluppare tranquillamente.
- Esponente frazionario $m/n$ = "radice $n$-esima del binomio elevato alla $m$"... quindi l'argomento della radice si può sviluppare tranquillamente (ovviamente meglio prima vedere se si semplifica qualcosetta!).
- Esponente reale (non razionale) quindi irrazionale... non c'è niente da fare!
Grazie 
ps. escludendo la dimostrazione per induzione, c'è un'altra dimostrazione? Mi sembra di aver letto qualcosa su wikipedia, ma non è molto approfondita al riguardo.
ps. escludendo la dimostrazione per induzione, c'è un'altra dimostrazione? Mi sembra di aver letto qualcosa su wikipedia, ma non è molto approfondita al riguardo.
"violetmari":
Mi sembra di aver letto qualcosa su wikipedia, ma non è molto approfondita al riguardo.
C'è un accenno di dimostrazione "combinatoria" su wiki ma, non essendo ferrato a riguardo, passo la parola ad altri.
PS. In bocca al lupo per la maturità (ho anche aperto un thread per l'in bocca al lupo a tutti coloro che hanno a che fare con la maturità quest'anno!), ricordo anche che stavi facendo la tesi sulle "rivoluzioni".
"Zero87":
[quote="violetmari"]Mi sembra di aver letto qualcosa su wikipedia, ma non è molto approfondita al riguardo.
C'è un accenno di dimostrazione "combinatoria" su wiki ma, non essendo ferrato a riguardo, passo la parola ad altri.
PS. In bocca al lupo per la maturità (ho anche aperto un thread per l'in bocca al lupo a tutti coloro che hanno a che fare con la maturità quest'anno!), ricordo anche che stavi facendo la tesi sulle "rivoluzioni".
[/quote]Si, ed infatti ho deciso di portare proprio il binomio di Newton facendo un piccolo accenno sulla rivoluzione scientifica di quest'ultimo. Soltanto che sto riscontrando alcune difficoltà in merito a questo argomento e non vorrei fare brutta figura. Grazie comunque
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