Binomio di Newton
Amici, non sto riuscendo a capire il Binomio di Newtoon, avete qualche appunto he parla di questo???
Potreste aiutarmi a capirlo???
Potreste aiutarmi a capirlo???
Risposte
Vediamo un esempio numerico, con $m=2, n=4$.
$sum_(1+m)^(n+m)a_(k-m)=sum_3^6 a_(k-2)=a_(3-2)+a_(4-2)+a_(5-2)+a_(6-2)=$
$=a_1+a_2+a_3+a_4=sum_(k=1)^4 a_k=sum_(k=1)^n a_k$
Usando le lettere (per chiarezza scrivo $m$ come primo addendo)
$sum_(m+1)^(m+n)a_(k-m)=a_(m+1-m)+a_(m+2-m)+a_(m+3-m)+...+a_(m+n-m)=$
$=a_1+a_2+a_3+...+a_n=sum_(k=1)^n a_k$
$sum_(1+m)^(n+m)a_(k-m)=sum_3^6 a_(k-2)=a_(3-2)+a_(4-2)+a_(5-2)+a_(6-2)=$
$=a_1+a_2+a_3+a_4=sum_(k=1)^4 a_k=sum_(k=1)^n a_k$
Usando le lettere (per chiarezza scrivo $m$ come primo addendo)
$sum_(m+1)^(m+n)a_(k-m)=a_(m+1-m)+a_(m+2-m)+a_(m+3-m)+...+a_(m+n-m)=$
$=a_1+a_2+a_3+...+a_n=sum_(k=1)^n a_k$
"giammaria":
Vediamo un esempio numerico, con $m=2, n=4$.
$sum_(1+m)^(n+m)a_(k-m)=sum_3^6 a_(k-2)=a_(3-2)+a_(4-2)+a_(5-2)+a_(6-2)=$
$=a_1+a_2+a_3+a_4=sum_(k=1)^4 a_k=sum_(k=1)^n a_k$
Ma il senso dei questa traslazione, insomma, per cosa viene utilizzata
Senza fare tutto queste dimostrazioni, non si può utilizzare direttamente e solo $ sum_(k=1)^n a_k $
A parte il fatto che non sono dimostrazioni, il tuo discorso potrebbe valere anche per le proprietà delle potenze allora. Invece, come avrai notato, sono alquanto utili. Solo perchè ora non ne vedi un riscontro pratico, non significa che non ti semplificheranno le cose in futuro 
Secondo me, una volta capita la formula, conviene impararla a memoria, per poi utilizzarla............
Non mi sembra che ci sia molto da imparare!?!?!?
Vero?
Non mi sembra che ci sia molto da imparare!?!?!?
Vero?
Esattamente!
L'ultima che mi resta da capire e' la seguente:
$ sum_(k=1)^(n) a_k = sum_(k=1)^(n) a_k - k+ 1= sum_(k=0)^(n -1) a_k -k $
Scusate pubblicamente, avete ragione, adesso riscrivo il tutto...
$ sum_(k=1)^(n) a_k = sum_(k=1)^(n) a_k - k+ 1= sum_(k=0)^(n -1) a_k -k $
Scusate pubblicamente, avete ragione, adesso riscrivo il tutto...
Il primo membro è $$a_1 + a_2 + \ldots + a_n$$
Il secondo membro è $$a_{n-1+1} + a_{n-2+1} + \ldots + a_{n-n+1} = a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1$$
I primi due membri sono uguali infatti si nota facilmente che il secondo è semplicemente il primo al contrario. Il terzo membro è uguale a $$a_{n-0}+a_{n-1}+\ldots+a_{n-n+1}=a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1$$ ed è semplicemente un modo più compatto per scrivere il secondo.
Il secondo membro è $$a_{n-1+1} + a_{n-2+1} + \ldots + a_{n-n+1} = a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1$$
I primi due membri sono uguali infatti si nota facilmente che il secondo è semplicemente il primo al contrario. Il terzo membro è uguale a $$a_{n-0}+a_{n-1}+\ldots+a_{n-n+1}=a_n + a_{n-1} + \ldots + a_1$$ ed è semplicemente un modo più compatto per scrivere il secondo.
Sei già stato ammonito: il testo va scritto e non fotocopiato. Se continuerai a violare il regolamento, dovremo prendere misure punitive.
Cancello il resto della mia risposta, praticamente identica a quella di Pianoth.
Cancello il resto della mia risposta, praticamente identica a quella di Pianoth.
Edit: Ho scritto la formula e ho tolto l'immagine, scusatemi ancora!
Ma non riesco a capire perche' il mio testo dice che la seguente:
$ { ( a_1 = 3 ),(a_n = a_(n-1)/(2n); n>=2 ):} $
Porta a dire che e' data dal metodo ricorsivo, e si ha:
$3,3/4,1/8,1/64,............ $
Non sto capendo cosa vuole dire e cosa fa per dare quei valori............. !????!
$ { ( a_1 = 3 ),(a_n = a_(n-1)/(2n); n>=2 ):} $
Porta a dire che e' data dal metodo ricorsivo, e si ha:
$3,3/4,1/8,1/64,............ $
Non sto capendo cosa vuole dire e cosa fa per dare quei valori............. !????!
L'ennesimo valore della serie è dato dalla formula, quindi per esempio per il secondo valore $a_2$ abbiamo che $n=2$. Applichiamo la formula:
$a_2=a_(2-1)/(2*2)=a_1/(2*2)=3/4$
Proviamo con $a_3$:
$a_3=a_(3-1)/(2*3)=a_2/(2*3)=(3/4)/6=1/8$
Riesci a proseguire?
$a_2=a_(2-1)/(2*2)=a_1/(2*2)=3/4$
Proviamo con $a_3$:
$a_3=a_(3-1)/(2*3)=a_2/(2*3)=(3/4)/6=1/8$
Riesci a proseguire?
Si, 
Non mi ero reso conto della banalita' dell'esercizio!
Ti ringrazio!
Non mi ero reso conto della banalita' dell'esercizio!
Ti ringrazio!
Altro esempio che non sto capendo:
$ {a_n} $ dove: $ a_n = { ( 1/n ),( -(n+1)/n ):}=>{ ( n = pari ),( n= dispari ):} $
Il testo dice che ${a_n} = -2, 1/2, -4/3, 1/4, -6/5, 1/6,............ $
Ma cosa ha fatto?????
$ {a_n} $ dove: $ a_n = { ( 1/n ),( -(n+1)/n ):}=>{ ( n = pari ),( n= dispari ):} $
Il testo dice che ${a_n} = -2, 1/2, -4/3, 1/4, -6/5, 1/6,............ $
Ma cosa ha fatto?????
Semplicemente utilizzi la formula sopra quando l'indice è pari e quella sotto quando è dispari.
$a_1$, che è dispari, sarà $-(1+1)/1=-2$.
$a_2$, che è pari, sarà $1/2$.
$a_3$, che è dispari, sarà $-(3+1)/3=-4/3$.
$...$
$a_1$, che è dispari, sarà $-(1+1)/1=-2$.
$a_2$, che è pari, sarà $1/2$.
$a_3$, che è dispari, sarà $-(3+1)/3=-4/3$.
$...$
Dammi una martellata così mi sveglio un po' 
Sono così banali e io non mi rendo conto!
Sarà la tanta ruggine che ho in testa
Sono così banali e io non mi rendo conto!
Sarà la tanta ruggine che ho in testa
Nella dimostrazione del Binomio di Newtoon, non sto capendo quella prorpietà che viene menzionata, cioè la seguente:
$ ( (n+1), (k) ) =( (n), (k - 1) ) ( (n), (k) ) $
Potreste cortesemente aiutarmi a capirla
Per il resto la dimostrazione del Binomio di Newtoon, per induzione sono riuscita a capirla tranquillamente
Mi resta da capire solo quella proprietà che ho richiamato in questo messaggio
$ ( (n+1), (k) ) =( (n), (k - 1) ) ( (n), (k) ) $
Potreste cortesemente aiutarmi a capirla
Per il resto la dimostrazione del Binomio di Newtoon, per induzione sono riuscita a capirla tranquillamente
Mi resta da capire solo quella proprietà che ho richiamato in questo messaggio
Fra i due coefficienti binomiali a secondo membro ci vuole un +. Facciamo ora i calcoli.
A primo membro sono facili:
$((n+1),(k))=((n+1)!)/(k!(n+1-k)!)$
A secondo membro cominciamo a scrivere
$((n),(k-1))+((n),(k))=(n!)/((k-1)!(n-k+1)!)+(n!)/(k!(n-k)!)$
Si può mettere in evidenza $n!$ e poi dobbiamo dare denominatore comune. Per farti capire il ragionamento parto da un semplice esempio numerico: calcolare
$2/(5!)+3/(6!)$
Si ha $5! =1*2*3*4*5$ e $6! =1*2*3*4*5*6$; dobbiamo prendere il m.c.m. dei denominatori, cioè tutti i fattori comuni e non comuni, quindi prendiamo $6!$. Ora dobbiamo dare denominatore comune e quindi fare la divisione $6!:5!$; guardando di nuovo l'inizio di questo paragrafo, vediamo che il risultato è 6. Quindi
$2/(5!)+3/(6!)=(2*6+3*1)/(6!)=15/(6!)$
Nello stesso modo si lavora con le lettere; tornando quindi all'esercizio iniziale, notiamo che
- il m.c.m. fra $(k-1)!$ e $k!$ è $k!$ e che $k!:(k-1)! =k$,
- il m.c.m. fra $(n-k)!$ e $(n-k+1)!$ è $(n-k+1)!$ e che $(n-k+1)!:(n-k)! =n-k+1$;
continuiamo quindi con
$=n!(k+(n-k+1))/(k!(n+1-k)!)=(n!(n+1))/(k!(n+1-k)!)=((n+1)!)/(k!(n+1-k)!)$
che è uguale al primo membro.
A primo membro sono facili:
$((n+1),(k))=((n+1)!)/(k!(n+1-k)!)$
A secondo membro cominciamo a scrivere
$((n),(k-1))+((n),(k))=(n!)/((k-1)!(n-k+1)!)+(n!)/(k!(n-k)!)$
Si può mettere in evidenza $n!$ e poi dobbiamo dare denominatore comune. Per farti capire il ragionamento parto da un semplice esempio numerico: calcolare
$2/(5!)+3/(6!)$
Si ha $5! =1*2*3*4*5$ e $6! =1*2*3*4*5*6$; dobbiamo prendere il m.c.m. dei denominatori, cioè tutti i fattori comuni e non comuni, quindi prendiamo $6!$. Ora dobbiamo dare denominatore comune e quindi fare la divisione $6!:5!$; guardando di nuovo l'inizio di questo paragrafo, vediamo che il risultato è 6. Quindi
$2/(5!)+3/(6!)=(2*6+3*1)/(6!)=15/(6!)$
Nello stesso modo si lavora con le lettere; tornando quindi all'esercizio iniziale, notiamo che
- il m.c.m. fra $(k-1)!$ e $k!$ è $k!$ e che $k!:(k-1)! =k$,
- il m.c.m. fra $(n-k)!$ e $(n-k+1)!$ è $(n-k+1)!$ e che $(n-k+1)!:(n-k)! =n-k+1$;
continuiamo quindi con
$=n!(k+(n-k+1))/(k!(n+1-k)!)=(n!(n+1))/(k!(n+1-k)!)=((n+1)!)/(k!(n+1-k)!)$
che è uguale al primo membro.
Ho visto che si utilizza la seguente formula:
$ ( (n), (k) ) = (n!)/(k!(n-k)!) $
Con l'esempio numerico ok, ma con gli $ n+1 $ o $ n-1 +k...... $ , quando hai fatto il minimo comune multiplo, mi sono perso un pò
$ ( (n), (k) ) = (n!)/(k!(n-k)!) $
Con l'esempio numerico ok, ma con gli $ n+1 $ o $ n-1 +k...... $ , quando hai fatto il minimo comune multiplo, mi sono perso un pò
Infatti non è una dimostrazione semplice per chi ha poca familiarità con i fattoriali; io l'ho sempre fatta precedere da un certo numero di esercizi simili ma di difficoltà via via crescente. Prova a guardare se sul tuo libro ci sono esercizi di calcoli che usano i fattoriali.
Ho confrontato le formule e i passaggi con quell'esempio numerico e sono riuscito a capire gli step che hai fatto
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo