Baricentro triangolo isoloscele
Un triangolo isoscele la cui base $AB$ è lunga $8cm$ è equivalente a un rombo le cui diagonali sono lunghe $8cm$ e $12cm$.
a) Determina lunghezza della mediana relativa ad $AB$
b) Determina lunghezza delle mediane relative ai lati obliqui
Il punto a) è abbastanza banale. Nel punto b) ho un dubbio. Calcolando $CB=AD=4sqrt(10)$ e ricordando che il baricentro (punto di incontro delle mediane relative ai lati di un triangolo) divide le mediane in due segmenti di cui uno è il doppio dell'altro, ho supposto che i triangoli con lati $2a$ e $a$, dove $a$ è la lunghezza del segmento più piccolo in cui la mediana viene divisa dal baricentro, siano rettangoli. Ho quindi applicato Pitagora: $4a^2 + a^2 = (2sqrt(10))^2$ e sono arrivato alla soluzione.
Però perché i triangoli in questione sono rettangoli? (a breve allego una foto esclusivamente per rendere più chiaro il mio dubbio).
a) Determina lunghezza della mediana relativa ad $AB$
b) Determina lunghezza delle mediane relative ai lati obliqui
Il punto a) è abbastanza banale. Nel punto b) ho un dubbio. Calcolando $CB=AD=4sqrt(10)$ e ricordando che il baricentro (punto di incontro delle mediane relative ai lati di un triangolo) divide le mediane in due segmenti di cui uno è il doppio dell'altro, ho supposto che i triangoli con lati $2a$ e $a$, dove $a$ è la lunghezza del segmento più piccolo in cui la mediana viene divisa dal baricentro, siano rettangoli. Ho quindi applicato Pitagora: $4a^2 + a^2 = (2sqrt(10))^2$ e sono arrivato alla soluzione.
Però perché i triangoli in questione sono rettangoli? (a breve allego una foto esclusivamente per rendere più chiaro il mio dubbio).
Risposte
Beh, l'altezza $CH$ sai quant'è, la distanza dal baricentro alla base sai che è un terzo ...
"axpgn":
Beh, l'altezza $CH$ sai quant'è, la distanza dal baricentro alla base sai che è un terzo ...
Continuo a non capire perché siano rettangoli. Sarà sicuramente una sciocchezza ma per ora mi sfugge.
Quello è per caso, non devi supporlo.
Riflettici, è più semplice di quello che sembra
Riflettici, è più semplice di quello che sembra
"axpgn":
Quello è per caso, non devi supporlo.
Riflettici, è più semplice di quello che sembra
Se è per caso allora come le posso trovare le mediane relative ai lati obliqui (senza applicare Pitagora)?
L'altezza tracciata da $C$ sulla base $AB$ è lunga $12$.
La distanza tra il baricentro e la base è un terzo di questa quindi è $4$ che guarda caso è la stessa misura di mezza base.
Due cateti lunghi $4$, quanto sarà l'ipotenusa ovvero il segmento da $A$ al baricentro?
La distanza tra il baricentro e la base è un terzo di questa quindi è $4$ che guarda caso è la stessa misura di mezza base.
Due cateti lunghi $4$, quanto sarà l'ipotenusa ovvero il segmento da $A$ al baricentro?
"axpgn":
L'altezza tracciata da $C$ sulla base $AB$ è lunga $12$.
La distanza tra il baricentro e la base è un terzo di questa quindi è $4$ che guarda caso è la stessa misura di mezza base.
Due cateti lunghi $4$, quanto sarà l'ipotenusa ovvero il segmento da $A$ al baricentro?
Ok ora ho capito, non so perché non avevo proprio considerato di applicare Pitagora a quel triangolo. Grazie mille!
.
"sellacollesella":
Come è già stato scritto non è necessario saperlo, altrimenti scritti i vertici di un generico triangolo: \[
A(0,\,0), \quad \quad B(b,\,0), \quad \quad C(c,\,h)
\quad \quad \Rightarrow \quad \quad
G\left(\frac{0+b+c}{3},\,\frac{0+0+h}{3}\right)
\] ne consegue che: \[
\overline{G-A} \cdot \overline{G-B} = 0
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
\frac{c^2 - b\,c + h^2 - 2\,b^2}{9} = 0
\quad \quad \Leftrightarrow \quad \quad
c = \frac{b}{2} \pm \frac{\sqrt{9\,b^2-4\,h^2}}{2}
\] e dovendo risultare \(c = \frac{b}{2}\) è evidente che debba essere \(9\,b^2 - 4\,h^2 = 0\), ossia \(\frac{b}{h} = \frac{2}{3}\), che putacaso è proprio il rapporto tra base e altezza del triangolo in esame, motivo per il quale i due triangoli da te individuati sono rettangoli e quindi sia possibile applicare proficuamente il teorema di Pitagora.
Non ho capito un po' di cose della tua dimostrazione. $\bar{G-A} = G$ è un punto, non un segmento. $\bar{G-B} = ((-2b+c)/3; h/3)$ è un punto anche questo credo. Poi non ho capito perché fai la doppia implicazione, però ho da ripassare ancora parecchie cose e purtroppo non posso dedicare troppo tempo ai singoli esercizi. L'importante è che riesca ad applicare bene le cose che sto ripassando.
Ti ringrazio comunque per la dimostrazione analitica, io sono stato fortunato perché l'esercizio avrei dovuto risolverlo come suggeriva axpgn.
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"sellacollesella":
Sì, l'esercizio era risolubile elementarmente come indicato da axpgn e non è una questione di fortuna, gli esercizi sono sempre calibrati a seconda dei capitoli teorici a cui si riferiscono. D'altro canto, dato che eri curioso di sapere il perché avesse funzionato anche il tuo metodo, ossia perché quei determinati triangoli fossero rettangoli, ho considerato i vettori \(\overline{G-A}\) e \(\overline{G-B}\) ed ho imposto che siano perpendicolari, ossia che il loro prodotto scalare sia identicamente nullo. Dopo sono solo considerazioni algebriche, nulla di più.
Ero curioso perché non avevo trovato altri metodi più banali per poterlo risolvere, e pensavo potessi rendermi conto fossero triangoli rettangoli da considerazioni di geometria sintetica.
Comunque ora ho capito un po' di più il tuo ragionamento, non avevo capito stessi parlando di vettori.
Comunque il triangolo "isoloscele" che caratteristiche ha?
Do anche un altro metodo di soluzione, che ha il pregio di valere per qualsiasi triangolo isoscele di cui siano note la base AB e l'altezza CH. Chiamo M il punto medio di BC e G il baricentro.
Calcolo $AH=1/2 AB$ e $GH=1/3CH$ e poi $AG=sqrt(AH^2+GH^2)$.
Poiché $AG=2/3AM$, posso ora calcolare $AM=3/2AG$
Calcolo $AH=1/2 AB$ e $GH=1/3CH$ e poi $AG=sqrt(AH^2+GH^2)$.
Poiché $AG=2/3AM$, posso ora calcolare $AM=3/2AG$
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