Baricentro
Qual è il modo migliore per calcolare il baricentro di una figura ke nn presenti particolari assi di simmetria? Ad esempio...come faccio a calcolare il baricentro della parte di piano compresa fra una parabola del tipo $y=-x^2+4$ e l'asse x?
Ho sentito dire il teorema di Guldino ma nel mio libro nn è presente.. dove lo posso trovare? E' qst il modo migliore o ve n'è uno + conveniente?
GRAZIE CIAO
Ho sentito dire il teorema di Guldino ma nel mio libro nn è presente.. dove lo posso trovare? E' qst il modo migliore o ve n'è uno + conveniente?
GRAZIE CIAO
Risposte
mmm...teorema di Pappo:
Il volume descritto da un solido di rotazione è uguale all'area delle figura piana che lo genera per lo spazio percorso dal centro di massa.
Oppure puoi utilizzare, a seconda delle esigenze, la versione a due dimensioni che è la stessa.
Il volume descritto da un solido di rotazione è uguale all'area delle figura piana che lo genera per lo spazio percorso dal centro di massa.
Oppure puoi utilizzare, a seconda delle esigenze, la versione a due dimensioni che è la stessa.
Teorema di Pappo.. avrai ragione tu ma io credevo ke qst fosse di Guldino.....
Scusa ma ke intendi dicendo "la versione a 2 dimensioni"?
CIAO
Scusa ma ke intendi dicendo "la versione a 2 dimensioni"?
CIAO
Il teorema di Guldino, almeno quello che conosco io, serve a calcolare il volume di un solido di rotazione o la lunghezza di un arco di curva, non il baricentro.
1° teorema di Guldino:
sia $AB$ un arco di curva di equazione $y=f(x)$, e si voglia calcolare il volume $V$ del solido ottenuto dalla rotazione, attorno all'asse $x$, del trapezoide delimitato dall'arco di curva $AB$. Tale volume sarà:
$V=piint_(a)^(b){f(x)}^2dx$
2° teorema di Guldino:
la lunghezza $l$ dell'arco di curva $AB$ di equazione $y=f(x)$ è data da
$l=int_(a)^(b)sqrt(1+{f'(x)}^2)dx
Però...pensandoci bene questi risultati li puoi utilizzare per calcolare il baricentro di un solido senza utilizzare il teorema di Pappo. Se vuoi ti posso fare un esempio.
1° teorema di Guldino:
sia $AB$ un arco di curva di equazione $y=f(x)$, e si voglia calcolare il volume $V$ del solido ottenuto dalla rotazione, attorno all'asse $x$, del trapezoide delimitato dall'arco di curva $AB$. Tale volume sarà:
$V=piint_(a)^(b){f(x)}^2dx$
2° teorema di Guldino:
la lunghezza $l$ dell'arco di curva $AB$ di equazione $y=f(x)$ è data da
$l=int_(a)^(b)sqrt(1+{f'(x)}^2)dx
Però...pensandoci bene questi risultati li puoi utilizzare per calcolare il baricentro di un solido senza utilizzare il teorema di Pappo. Se vuoi ti posso fare un esempio.
Il teorame di Guldino per i volumi dei solidi di rivoluzione afferma che:
Il volume di un solido generato per rotazione di una figura piana $\Omega$ attorno a un asse (a essa esterno) è uguale all'area della figura per il percorso del suo baricentro.
Una analoga relazione vale per l'area delle superfici di rivoluzione, sostituendo al posto di $\Omega$ una linea $\Gamma$ e all'area la lunghezza.
Sembra che Giuseppe lo conosca come teorema di Pappo. Non so attribuire la corretta paternità: forse uno storico della matematica....
Il teorema di Guldino può essere usato per trovare la posizione del baricentro se hai il volume del solido di rotazione, sarebbe una 'formula inversa'. Nel caso proposto, però, non conosco una formula elementare per il volume del solido di rivoluzione generato da un settore di parabola. In assenza della comoscenza del volume non credo che il teorema sia utile e conviene calcolare il baricentro sulla base della definizione, che prevede un integrale.
Un esempio simpatico di applicazione del teorema di Guldino è il calcolo del baricentro di un semicerchio.
In questo caso il solido generato per rotazione attorno al diametro è una sfera e la posizione del baricentro si ricava in modo immediato. Se invece devi fare l'integrale, il calcolo è un po' più laborioso.
A questo proposito, sei sicuro che l'esercizio non fosse: $y=\sqrt (4-x^2)$ ?
ciao
Il volume di un solido generato per rotazione di una figura piana $\Omega$ attorno a un asse (a essa esterno) è uguale all'area della figura per il percorso del suo baricentro.
Una analoga relazione vale per l'area delle superfici di rivoluzione, sostituendo al posto di $\Omega$ una linea $\Gamma$ e all'area la lunghezza.
Sembra che Giuseppe lo conosca come teorema di Pappo. Non so attribuire la corretta paternità: forse uno storico della matematica....
Il teorema di Guldino può essere usato per trovare la posizione del baricentro se hai il volume del solido di rotazione, sarebbe una 'formula inversa'. Nel caso proposto, però, non conosco una formula elementare per il volume del solido di rivoluzione generato da un settore di parabola. In assenza della comoscenza del volume non credo che il teorema sia utile e conviene calcolare il baricentro sulla base della definizione, che prevede un integrale.
Un esempio simpatico di applicazione del teorema di Guldino è il calcolo del baricentro di un semicerchio.
In questo caso il solido generato per rotazione attorno al diametro è una sfera e la posizione del baricentro si ricava in modo immediato. Se invece devi fare l'integrale, il calcolo è un po' più laborioso.
A questo proposito, sei sicuro che l'esercizio non fosse: $y=\sqrt (4-x^2)$ ?
ciao
scusate il ritardo...
si l'es è qst Mirco...
cmq il volume lo posso trovare cn l'integrale...
E quanto alla mia ultima domanda? C'è un modo più conveniente per calcolare il volume?
si l'es è qst Mirco...
cmq il volume lo posso trovare cn l'integrale...
E quanto alla mia ultima domanda? C'è un modo più conveniente per calcolare il volume?
Se l'esercizio è quello che hai postato, non conosco metodi più semplici dell'integrale.
ciao
ciao
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