B nell'equazione della parabola

[Ema20031]

Ciao a tutti, non capisco da cosa il libro derivi che $b<0$, qualcuno avrebbe voglia di spiegarmelo? Grazie mille!

[4131]

[tex]-\frac{b}{2a}=-b\cdot\underbrace{\frac{1}{2a}}_{<0}<0[/tex]

Dalla regola dei segni

[tex]+\times -=-[/tex]

quindi: [tex]-b>0\rightsquigarrow b<0[/tex].

[Ema20031]

Grazie mille! Un'altra domanda, se hai voglia di rispondermi: ma in questo tipo di parabole, il coefficiente $b$ cosa dice della parabola?

[@melia]

Da solo non dice niente, però $-b/(2a)$ è la $x$ del vertice e anche $x= -b/(2a)$ è l'asse della parabola.

[4131]

Inoltre se [tex]b^2>4ac[/tex] la parabola interseca l'asse [tex]x[/tex] in due punti distinti, se [tex]b^2=4ac[/tex] la parabola è tangente all'asse [tex]x[/tex] nel vertice, se [tex]b^2<4ac[/tex] la parabola non interseca l'asse [tex]x[/tex].

[tex]y=ax^2+bx+c=a\Big[\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\Big],\quad \Delta=b^2-4ac[/tex]

[Bokonon]

"@melia":Da solo non dice niente

Pubblicato ieri https://youtu.be/6b-_c5e3yok

[4131]

Carino. Tradotto per Ema che non ha ancora studiato le derivate (penso). Determiniamo la retta tangnete alla parabola nel punto d'intersezione con l'asse delle ordinate [tex](0,c)[/tex]: scriviamo l'equazione del fascio per [tex](0,c)[/tex]

[tex]y=mx+c[/tex]

quindi determiniamo [tex]m[/tex] in modo che la retta sia tangente alla parabola in [tex](0,c)[/tex]

[tex]\begin{cases}y&=mx+c\\y&=ax^2+bx+c\end{cases}[/tex]

otteniamo

[tex]x(ax+b-m)=0\[/tex]

imponiamo che i due punti d'intersezione siano coincidenti

[tex]0=\frac{m-b}{a}[/tex]

da cui

[tex]m=b.[/tex]

La retta tangente alla parabola nel punto [tex](0,c)[/tex] è

[tex]y=bx+c[/tex].

Infine calcoliamo di quanto si "alza" la retta tangente spostandosi a destra di una unità rispetto a [tex](0,c)[/tex]

[tex]\begin{gather}\Delta y=y(1)-y(0)=b+c-c=b.\label{eq:deltay}\end{gather}[/tex]

[Bokonon]

Aggiungo la conclusione terra terra al post di @413
Dal grafico possiamo vedere il punto in cui la parabola interseca l'asse Y.
La retta tangente in quel punto è inclinata verso il basso.
Poichè b rappresenta il coefficiente angolare della suddetta retta in quel punto, allora $b<0$

[4131]

"Bokonon":
La retta tangente in quel punto è inclinata verso il basso.
Poiché b rappresenta il coefficiente angolare della suddetta retta in quel punto, allora $b<0$

Prop. Detto [tex]\alpha[/tex] l'angolo convesso formato in senso antiorario dalla retta tangente alla parabola nel punto di coordinate [tex](0,c)[/tex] col semiasse positivo delle ascisse, si ha

[*:3a35w023] [tex]b>0[/tex] sse [tex]\alpha[/tex] è acuto;[/*:m:3a35w023]
[*:3a35w023] [tex]b<0[/tex] sse [tex]\alpha[/tex] è ottuso;[/*:m:3a35w023]
[*:3a35w023] [tex]b=0[/tex] sse [tex]\alpha[/tex] è nullo o piatto.[/*:m:3a35w023][/list:u:3a35w023]
Dim. Infatti (come segue da[tex]~\ref{eq:deltay}[/tex] oppure dall'interpretazione geometrica del coefficiente angolare di una retta)

[tex]\tan\alpha=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{b}{1}=b[/tex]

riferendoci all'intervallo [tex][0,\pi][/tex]: la tangente è positiva per [tex]0<\alpha<\pi/2[/tex], negativa per [tex]\pi/2<\alpha<\pi[/tex] e nulla per [tex]\alpha=0,\pi[/tex].[tex]\blacksquare[/tex]